Question

如圖，一條直線與反比例函數的圖象交于A（1，4）B（4，n）兩點，與軸交于D點，AC⊥軸，垂足為C．

（1）如圖甲，①求反比例函數的解析式；②求n的值及D點坐標；
（2）如圖乙，若點E在線段AD上運動，連結CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F點．試說明△CDE∽△EAF；

Answer 1

（1）①，②，D（5，0）；（2）要證△CDE∽△EAF，只要證明出△CDE和△EAF的三個內角分別對應相等，即可得證.

試題分析：（1）①根據點A的坐標即可求出反比例函數的解析；②把B點的坐標代入求得的反比例函數的解析式即可求得n的值；利用待定系數法求一次函數的解析式，令一次函數的y=0，即可求得點D的坐標；
（2）要證△CDE∽△EAF，只要證明出△CDE和△EAF的三個內角分別對應相等，即可得證.
（1）①∵點A（1，4）在反比例函數圖象上
∴k=4
即反比例函數關系式為；
②∵點B（4，n）在反比例函數圖象上
∴n=1
設一次函數的解析式為y=mx+b
∵點A（1，4）和B（4，1）在一次函數y=mx+b的圖象上

∴一次函數關系式為y=-x+5
令y=0，得x=5
∴D點坐標為D（5，0）；
（2）∵A（1，4），D（5，0），AC⊥x軸
∴C（1，0）
∴AC=CD=4，
即∠ADC=∠CAD=45°，
∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°，
∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°，
∴∠ECD=∠AEF，△CDE和△EAF的兩角對應相等，
∴△CDE∽△EAF．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．