Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+3經過A（﹣3，0），B（﹣1，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設拋物線的頂點為M，直線y=﹣2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D．現將拋物線平移，保持頂點在直線OD上．若平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+4x+3；（2）h=4，頂點橫坐標的取值范圍是≤h＜或h=4．

【解析】

試題分析：（1）直接用待定系數法就可以求出拋物線的解析式；

（2）由（1）的解析式求出拋物線的頂點坐標，根據拋物線的頂點坐標求出直線OD的解析式，設平移后的拋物線的頂點坐標為（h，h），就可以表示出平移后的解析式，當拋物線經過點C時就可以求出h值，拋物線與直線CD只有一個公共點時可以得出，得x2+（﹣2h+2）x+h2+h﹣9=0，從而得出△=（﹣2h+2）2﹣4（h2+h﹣9）=0求出h=4，從而得出結論．

解：（1）拋物線解析式y=ax2+bx+3經過A（﹣3，0），B（﹣1，0）兩點，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為y=x2+4x+3．

（2）由（1）配方得y=（x+2）2﹣1，

∴拋物線的頂點坐標為M（﹣2，﹣1），

∴直線OD的解析式為y=x，

于是可設平移后的拋物線的頂點坐標為（h，h），

∴平移后的拋物線的解析式為y=（x﹣h）2+h，

當拋物線經過點C時，∵C（0，9），

∴h2+h=9．

解得h=，

∴當≤h＜時，平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點；

當拋物線與直線CD只有一個公共點時，

由方程組，

得x2+（﹣2h+2）x+h2+h﹣9=0，

∴△=（﹣2h+2）2﹣4（h2+h﹣9）=0，

解得h=4，

此時拋物線y=（x﹣4）2+2與直線CD唯一的公共點為（3，3），點（3，3）在射線CD上，符合題意．

故平移后拋物線與射線CD只有一個公共點時，頂點橫坐標的取值范圍是≤h＜或h=4．