Question

【題目】如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，E是CD的中點，過點C作AB的平行線交AE的延長線于點F，連接BF．

(1) 求證：CF＝AD；

(2) 若CA＝CB，∠ACB＝90°，試判斷四邊形CDBF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、正方形，理由見解析.

【解析】試題分析：(1)、根據(jù)CF∥AB可得∠CFE＝∠DAE，∠FCE＝∠ADE，根據(jù)E為中點可得CE=DE，則△ECF和△DEA全等，從而得出答案；(2)、根據(jù)AD=BD，則CF=BD，CF∥BD得出平行四邊形，根據(jù)CD為AB邊上的中線，CA=CB得出∠BDC=90°得出矩形，根據(jù)CD為等腰直角△ABC斜邊上的中線得出CD=BD，即得到正方形.

試題解析：(1)、∵CF∥AB，∴∠CFE＝∠DAE，∠FCE＝∠ADE，∵E為CD的中點，∴CE＝DE，

∴△ECF≌△DEA(AAS)， ∴CF＝AD，

(2)四邊形CDBF為正方形，理由為：

∵AD＝BD， ∴CF＝BD； ∵CF＝BD，CF∥BD，∴四邊形CDBF為平行四邊形，

∵CA＝CB，CD為AB邊上的中線，∴CD⊥AB，即∠BDC＝90°，∴四邊形CDBF為矩形，

∵等腰直角△ABC中，CD為斜邊上的中線，∴CD＝AB，即CD＝BD，則四邊形CDBF為正方形．