Question

【題目】如圖，正方形、等腰的頂點在對角線上(點與、不重合)，與交于，延長線與交于點，連接.

(1)求證：.

(2)求證：

(3)若，求的值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).

【解析】

（1）證出∠ABP=∠CBQ，由SAS證明△ABP≌△CBQ可得結論；
（2）根據正方形的性質和全等三角形的性質得到，∠APF=∠ABP，可證明△APF∽△ABP，再根據相似三角形的性質即可求解；
（3）根據全等三角形的性質得到∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=90°，根據三角函數和已知條件得到，由（2）可得，等量代換可得∠CBQ=∠CPQ即可求解．

(1)∵是正方形，

∴，，

∵是等腰三角形，

∴，，

∴，

∴，

∴；

(2)∵是正方形，

∴，，

∵是等腰三角形，

∴，

∵，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

；

(3)由(1)得，，，

∴，

由(2)，

∴，

∵，

∴，

在中，

，

∴