Question

已知：如圖所示，AB是⊙的弦，，C是優弧AB上的一點，BD//OA，交CA的延長線于點D，連接BC。

（1）求證：BD是⊙的切線；
（2）若，求⊙的半徑。

Answer 1

（1）證明見解析；（2）4.

試題分析：（1）連接OB，如圖．根據題意得，∠1=∠OAB=45°．由AO∥DB，得∠2=∠OAB=45°．則∠1+∠2=90°．即BD⊥OB于B．從而得出CD是⊙O的切線．
（2）作OE⊥AC于點E．由OE⊥AC，AC=4，求得AE，由∠BAC=75°，∠OAB=45°，得出∠3．在Rt△OAE中，求得OA即可．
試題解析：（1）證明：連接OB，如圖．

∵OA=OB，∠OAB=45°，
∴∠1=∠OAB=45°．
∵AO∥DB，
∴∠2=∠OAB=45°．
∴∠1+∠2=90°．
∴BD⊥OB于B．
∴又點B在⊙O上．
∴BD是⊙O的切線．
（2）作OE⊥AC于點E．
∵OE⊥AC，AC=4，
∴AE=AC=2．
∵∠BAC=75°，∠OAB=45°，
∴∠3=∠BAC-∠OAB=30°．
∴在Rt△OAE中，OA=.
考點:  1.切線的判定與性質；2.解直角三角形.