Question

如圖，已知以AB為直徑，O為圓心的半圓與直線MN相切于點C，∠A=28°．
（1）求∠ACM的度數．
（2）若點A到直線MN的距離為6，直徑AB的長為8，求弦AC的長．

Answer 1

解：（1）連接OC，
∵MN是⊙O切線，
∴∠OCD=90°，
又∵∠A=28°，OA=OC，
∴∠ACO=28°，
∴∠ACM=∠OCD-∠ACO=90°-28°=62°；

（2）過點A作AD⊥MN垂足為D，連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=28°，
∴ABC=62°，
∴∠ABC=∠ACM，
又∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴=，
∴6：AC=AC：8，
∴AC=4．
分析：（1）連接OC，由于OC是切線，那么∠OCD=90°，又∠A=28°，OA=OC，易求∠ACO=28°，從而可求∠ACM；
（2）過點A作AD⊥MN垂足為D，連接BC，由于AB是直徑，那么∠ACB=90°，而∠A=28°，易求∠ABC，從而有∠ABC=∠ACM，而∠ADC=∠ACB=90°，易證△ADC∽△ACB，再利用比例線段可求AC．
點評：本題考查了切線的性質、直徑所對的圓周角等于90°、相似三角形的判定和性質．解題的關鍵是連接OC，并過A作AD⊥MN垂足為D，連接BC，構造等腰三角形、直角三角形以及平行線．