Question

【題目】如圖，拋物線y=（x+2）（x﹣8）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，頂點為M，以AB為直徑作⊙D．下列結論：①拋物線的對稱軸是直線x=3；②⊙D的面積為16π；③拋物線上存在點E，使四邊形ACED為平行四邊形；④直線CM與⊙D相切．其中正確結論的個數是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】①根據拋物線的解析式得出拋物線與x軸的交點A、B坐標，由拋物線的對稱性即可判定；②求得⊙D的直徑AB的長，得出其半徑，由圓的面積公式即可判定；③過點C作CE∥AB，交拋物線于E，如果CE=AD，則根據一組等邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可判定；④求得直線CM、直線CD的解析式通過它們的斜率進行判定．

∵在y=（x+2）（x﹣8）中，當y=0時，x=﹣2或x=8，

∴點A（﹣2，0）、B（8，0），

∴拋物線的對稱軸為x==3，故①正確；

∵⊙D的直徑為8﹣（﹣2）=10，即半徑為5，

∴⊙D的面積為25π，故②錯誤；

在y=（x+2）（x﹣8）=x2﹣x﹣4中，當x=0時y=﹣4，

∴點C（0，﹣4），

當y=﹣4時，x2﹣x﹣4=﹣4，

解得：x1=0、x2=6，

所以點E（6，﹣4），

則CE=6，

∵AD=3﹣（﹣2）=5，

∴AD≠CE，

∴四邊形ACED不是平行四邊形，故③錯誤；

∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，

∴點M（3，﹣），

∴DM=，

如圖，連接CD，過點M作MN⊥y軸于點N，則有N（0，﹣），MN=3，

∵C（0，-4），∴CN=，∴CM2=CN2+MN2=，

在Rt△ODC中，∠COD=90°，∴CD2=OC2+OD2=25，∴CM2+CD2=，

∵DM2=，

∴CM2+CD2=DM2，

∴∠DCM=90°，即DC⊥CM，

∵CD是半徑，

∴直線CM與⊙D相切，故④正確，

故選B．