Question

在下圖中，直線l所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

5

x+5，l與y軸交于點(diǎn)C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出線段OC的長(zhǎng)；
（2）已知圖中A點(diǎn)在x軸的正半軸上，四邊形OABC為矩形，邊AB與直線l相交于點(diǎn)D，沿直線l把△CBD折疊，點(diǎn)B恰好落在AC上一點(diǎn)E處，并且EA=1．
①試求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②若⊙P的圓心在線段CD上，且⊙P既與直線AC相切，又與直線DE相交，設(shè)圓心P的橫坐標(biāo)為m，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直線l所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

5

x+5，則b=5，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），OC=5；
（2）①：設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)D在直線l上，則它的縱坐標(biāo)為：-

1

5

m+5由于四邊形CBAO是矩形，有BC=OA=m，CA=CE+AE=m+1
在Rt△OAC中，由勾股定理知，OA²+OC²=AC²，即m²+5²+（m+1）²，求解可得到m的值，從而求得D點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，

13

5

）；
②由于△BCD和△CDE關(guān)于直線L對(duì)稱(chēng)，所以⊙P與直線AC相切，與DE相交相當(dāng)于與直線BC相切，與BD相交，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA，交OA于M，交BC于N，作PH⊥AB，交AB于H，由題意知：只要PN＞PH即可，就可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）OC=5；

（2）①解法一：設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，由已知得，
它的縱坐標(biāo)為：-

1

5

m+5
∴BC=OA=m，CA=CE+AE=m+1，
在Rt△OAC中，OA²+OC²=AC²，即m²+5²=（m+1）²，
解得m=12．
∴-

1

5

m+5=

13

5

，即D點(diǎn)的坐標(biāo)為(12，

13

5

)；

解法二：設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，由已知得，
它的縱坐標(biāo)為：-

1

5

m+5，∴AD=-

1

5

m+5，DE=AB-AD=

1

5

m，
在Rt△ADE，EA²+ED²=AD²，即12+（

1

5

m）²=（-

1

5

m+5）²，解得m=12，
∴-

1

5

m+5=

13

5

，即D點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，

13

5

）；

解法三：設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，由已知得，它的縱坐標(biāo)為：-

1

5

m+5，
在Rt△OAC和Rt△ADE中，∠AOC=∠AED=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∠OAC+∠EAD=90°，
∴∠ACO=∠EAD，
∴Rt△OAC∽R(shí)t△ADE，
∴

AC

AD

=

OC

AE

，即：

m+1

- 1 5 m+5

=

5

1

，解得m=12，
∴-

1

5

m+5=

13

5

，即D點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，

13

5

）；

②由于△BCD和△CDE關(guān)于直線L對(duì)稱(chēng)，
所以⊙P與直線AC相切，與DE相交相當(dāng)于與直線BC相切，與BD相交，
過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA，交OA于M，交BC于N；作PH⊥AB，交AB于H，
由題意知：只要PN＞PH即可，
PN=MN-PM=

1

5

m，PH=12-m，即：

1

5

m＞12-m，解得m＞10，
又P在線段CD上，所以m≤12，
即m的取值范圍是10＜m≤12．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了：①折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；②一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相切的概念，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理求解．