Question

【題目】已知：二次函數y＝x2﹣mx+m+1(m為常數).若這個二次函數的圖象與x軸只有一個公共點A，且A點在x軸的正半軸上.

(1)求m的值.

(2)四邊形AOBC是正方形，且點B在y軸的負半軸上，現將這個二次函數的圖象平移，使平移后的函數圖象恰好經過B，C兩點，求平移后的圖象對應的函數解析式.

Answer 1

【答案】（1）m=4;（2）y=x2-2x-2．

【解析】

（1）根據二次函數y＝x2﹣mx+m+1的圖象與x軸只有一個公共點A，可得判別式為0，依此可得關于m的方程，求解即可；

（2）由（1）得點A的坐標為（2，0）．根據正方形的性質可得點B的坐標為（0，-2），點C的坐標為（2，-2）．根據待定系數法可求平移后的圖象對應的函數解析式；

解：（1）∵二次函數y＝x2﹣mx+m+1的圖象與x軸只有一個公共點A，

∴△=m2-4×1×（m+1）=0，

整理，得m2-3m-4=0，

解得m1=4，m2=-1，

又∵點A在x軸的正半軸上，

∴m=4，

（2）由（1）得點A的坐標為（2，0），

∵四邊形AOBC是正方形，點B在y軸的負半軸上，

∴點B的坐標為（0，-2），點C的坐標為（2，-2），

設平移后的圖象對應的函數解析式為y=x2+bx+c（b，c為常數），

∴ ，

解得b＝2， c＝2，

∴平移后的圖象對應的函數解析式為y=x2-2x-2．