Question

【題目】如圖本題圖①，在等腰Rt中， ,，為線段上一點，以為半徑作交于點,連接、，線段、、的中點分別為、、.

（1）試探究是什么特殊三角形？說明理由；

（2）將繞點逆時針方向旋轉到圖②的位置，上述結論是否成立？并證明結論；

（3）若,把繞點在平面內自由旋轉，求的面積y的最大值與最小值的差.

Answer 1

【答案】（1）為等腰直角三角形；（2）仍然為等腰直角三角形；（3）的最大值與最小值的差為：

【解析】分析：（1）由OA=OB,OP=OQ可得AP=BQ,再利用三角形的中位線可得△DMN是等腰直角三角形；

（2）由旋轉的性質得∠AOP=∠BOQ，從而可證△AOP≌△BOQ，由三角形中位線的性質可得DM=DN，根據平行線的性質和三角形內角和可證∠MDN=90°，從而結論得證；

（3）如圖，設⊙交于點，交延長線于點，連接，，.由三角形三邊的關系得，，由三角形的面積公式得，從而可求出y的最大值和最小值，然后相減即可.

詳解：（1）為等腰直角三角形

分別為的中點，

且

同理：

.

又

即為等腰直角三角形.

（2）如圖，仍然為等腰直角三角形.

證明：由旋轉的性質， .

≌,

.

分別為的中點， 且

同理：,

在等腰Rt中,

同理：

= .

為等腰直角三角形.

(3), 如圖，設⊙交于點,交延長線于點，

連接

,而，

同理，

由題意，,

的最小值為. 同理，最大值為，

從而得的最大值與最小值的差為：