Question

（2010•邢臺一模）在圖1-3中，四邊形ABCD和CGEF都是正方形，M是AE的中點．

（1）如圖1，點G在BC延長線上，求證：DM=MF；
（2）在圖1的基礎上，將正方形CGEF繞點C順時針旋轉到圖2位置，此時點E在BC延長線上．求證：DM=MF；
（3）在圖2的基礎上，將正方形CGEF繞點C在任一旋轉一個角度到如圖3位置，此時DM和MF還相等嗎？（不必說明理由）

Answer 1

分析：（1）延長DM到N，證明△AMD≌△EMN，得到DM=MN，M為直角三角形DFN的斜邊DN中點，得到2FM=DN，MF=MD；
（2）延長DM到N，使MN=MD，連接FD、FN、EN，延長EN與DC延長線交于點H．證明△DCF≌△NEF，即可得到線段MD，MF的位置及數量關系．
（3）旋轉的過程中，△AMD≌△EMN仍然成立，故結論仍成立．

解答：解：（1）MD=MF
證明：延長DM交FE于N．
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，
∴∠MAD=∠NEM．
又∵MA=ME，∠AMD=∠NME，
∴△AMD≌△EMN，
∴DM=MN，
∴M為直角三角形DFN的中點，
∴2FM=DN
∴MF=MD．


（2）延長DM到N，
使MN=MD，連接FD、FN、EN，
延長EN與DC延長線交于點H．
∵MA=ME，∠AMD=∠EMN，MD=MN，
∴△AMD≌△EMN，
∴∠DAM=∠MEN，AD=NE．
又∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90°，
∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°．
∴DC=NE．
∵∠DAM=∠MEN，
∴AD∥EH．
∴∠H=∠ADC=90°．
∵∠G=90°，∠HIC=∠GIE，
∴∠HCI=∠IEG．
∵∠HCI+∠DCF=∠IEG+∠FEN=90°，
∴∠DCF=∠FEN．
∵FC=FE，
∴△DCF≌△NEF，
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD．

（3）相等．

點評：本題考查旋轉的性質--旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．