Question

如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，弦AB⊥OP，垂足為C，OP與⊙O相交于點(diǎn)D，已知OA=2，OP=4．
（1）求∠POA的度數(shù)；
（2）求弦AB的長；
（3）過P、B兩點(diǎn)的直線是否是⊙O的切線，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)PA與⊙O相切于A點(diǎn)可知，OA⊥AP，再依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出；
（2）根據(jù)直角三角形中∠AOC=60°，OA=2可求出AC的長，再根據(jù)垂徑定理即可求出弦AB的長；
（3）通過全等三角形△OAB≌△OBP（SAS）的對(duì)應(yīng)角相等證得∠OAP=∠OBP=90°．所以過P、B兩點(diǎn)的直線是⊙O的切線．

解答：解：（1）∵PA與⊙O相切于A點(diǎn)，
∴△OAP是直角三角形，
∵OA=2，OP=4，
∴cos∠POA=

OA

OP

=

1

2

，
∴∠POA=60°．

（2）∵直角三角形中∠AOC=60°，OA=2，
∴AC=OA•sin60°=2×

3

2

=

3

．
∵AB⊥OP，
∴AB=2AC=2

3

；

（3）過P、B兩點(diǎn)的直線是⊙O的切線．理由如下：
如圖，連接OB、PB．
在△OAB和△OBP中，

OA=OB ∠AOP=∠BOP OP=OP

，
∴△OAB≌△OBP（SAS），
∴∠OAP=∠OBP．
又∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°．
又∵點(diǎn)B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切線，即過P、B兩點(diǎn)的直線是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值．此題通過作輔助線OB、PB證得PB是⊙O的切線．