Question

如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm半圓O以2cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始終在直線BC上．設運動時間為t（s），當t=0s時，半圓O在△ABC的左側，OC=8cm．當t為何值時，△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切？

Answer 1

分析：隨著半圓的運動分四種情況：①當點E與點C重合時，AC與半圓相切，②當點O運動到點C時，AB與半圓相切，③當點O運動到BC的中點時，AC再次與半圓相切，④當點O運動到B點的右側時，AB的延長線與半圓所在的圓相切．分別求得半圓的圓心移動的距離后，再求得運動的時間．

解答：解：（1）①如圖，當點E與點C重合時，AC⊥OE，OC=OE=6cm，所以AC為半圓O所在的圓相切，此時點O運動了2cm，所求運動時間為：t=

2

2

=1（s）
②如圖，當點O運動到點C時，過點O作OF⊥AB，垂足為F．
在Rt△FOB中，∠FBO=30°，OB=12cm，則OF=6cm，即OF等于半圓O的半徑，所以AB與半圓O所在的圓相切．此時點O運動了8cm，所求運動時間為：t=

8

2

=4（s）
③如圖，當點O運動到BC的中點時，AC⊥OD，OC=OD=6cm，所以AC與半圓O所在的圓相切．此時點O運動了14cm，所求運動時間為：t=

14

2

=7（s）．
④如圖，當點O運動到B點的右側，且OB=12cm時，過點O作OQ⊥AB，垂足為Q．在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，則OQ=6cm，即OQ等于半圓O所在的圓的半徑，
所以直線AB與半圓O所在的圓相切．此時點O運動了32cm，所求運動時間為：t=

32

2

=16（s）

點評：考查直線與圓的位置關系，本題利用了直線與圓相切的概念，能夠將各種情況都考慮全是解題的關鍵．