Question

如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經過點A（3，3）．
（1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）把直線OA向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點B（6，m），求m的值和這個一次函數(shù)的解析式；
（3）第（2）問中的一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于C、D，求過A、B、D三點的二次函數(shù)的解析式；
（4）在第（3）問的條件下，二次函數(shù)在第一象限的圖象上是否存在點E，使四邊形OECD的面積S₁與四邊形OABD的面積S滿足：S₁=

2

3

S？若存在，求點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，用待定系數(shù)發(fā)解答；
（2）因為B點為三個函數(shù)的交點，將B（6，m）代入已知函數(shù)y=

9

x

，即可求得m的值；根據(jù)一次函數(shù)和正比例函數(shù)平行，可知二者比例系數(shù)相同，再用待定系數(shù)法求出b的值；
（3）A、B坐標已求出，D點坐標可根據(jù)一次函數(shù)解析式求得；
（4）畫出圖形，根據(jù)已知各點坐標，求出相應線段長．由于四邊形不規(guī)則，故將其面積轉化為矩形面積與三角形面積的差或幾個三角形面積的和．

解答：解：（1）設正比例函數(shù)的解析式為y=k₁x（k₁≠0），
因為y=k₁x的圖象過點A（3，3），
所以3=3k₁，解得k₁=1．
這個正比例函數(shù)的解析式為y=x．
設反比例函數(shù)的解析式為y=

k2

x

（k₂≠0），
因為y=

k2

x

的圖象過點A（3，3），
所以3=

k2

3

，
解得k₂=9．
這個反比例函數(shù)的解析式為y=

9

x

．（2分）

（2）因為點B（6，m）在y=

9

x

的圖象上，
所以m=

9

6

=

3

2

，
則點B（6，

3

2

）．（3分）
設一次函數(shù)解析式為y=k₃x+b（k₃≠0），
因為y=k₃x+b的圖象是由y=x平移得到的，
所以k₃=1，即y=x+b．
又因為y=x+b的圖象過點B（6，

3

2

），
所以

3

2

=6+b，
解得b=-

9

2

，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x-

9

2

．

（3）因為y=x-

9

2

的圖象交y軸于點D，
所以D的坐標為（0，-

9

2

）．
設二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）．
因為y=ax²+bx+c的圖象過點A（3，3）、B（6，

3

2

）、和D（0，-

9

2

），
所以

9a+3b+c=3 36a+6b+c= 3 2 c=- 9 2

，
解得

a=- 1 2 b=4 c=- 9 2

，
這個二次函數(shù)的解析式為y=-

1

2

x²+4x-

9

2

．（6分）

（4）∵y=x-

9

2

交x軸于點C，
∴點C的坐標是（

9

2

，0），
如圖所示，連接OE，CE，過點A作AF∥x軸，交y軸于點F，過點B作BH∥y軸，交AF于點H，過點D作DG∥x軸，交直線BH于點G，則S=

15

2

×6-

1

2

×6×6-

1

2

×

3

2

×3-

1

2

×3×3=45-18-

9

4

-

9

2

=

81

4

．
假設存在點E（x₀，y₀），使S₁=

2

3

S=

81

4

×

2

3

=

27

2

．
∵四邊形CDOE的頂點E只能在x軸上方，
∴y₀＞0，
∴S₁=S_△OCD+S_△OCE=

1

2

×

9

2

×

9

2

+

1

2

×

9

2

•y0=

81

8

+

9

4

y0．
∴

81

8

+

9

4

y0=

27

2

，
∴y0=

3

2

．（7分）
∵E（x₀，y₀）在二次函數(shù)的圖象上，
∴-

1

2

x

2 0

+4x0-

9

2

=

3

2

．
解得x₀=2或x₀=6．
當x₀=6時，點E（6，

3

2

）與點B重合，這時CDOE不是四邊形，故x₀=6舍去，
∴點E的坐標為（2，

3

2

）．（8分）

點評：此題將初中所學三個主要函數(shù)：一次函數(shù)（含正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)、二次函數(shù)結合起來，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)與坐標的關系及不規(guī)則圖形面積的求法，綜合性較強，難度適中．