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精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
觀察下列各式及驗證過程：
1
2
-
1
3
=
1
2
2
3
，驗證
1
2
-
1
3
=
1
2×3
=
2
22×3
=
1
2
2
3
；
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
3
3
8
，驗證
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
2×3×4
=
3
2×32×4
=
1
3
3
8
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
4
4
15
，驗證
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
3×4×5
=
4
3×42×5
=
1
4
4
15

（1）按照上述三個等式及其驗證過程中的基本思想，猜想
1
4
(
1
5
-
1
6
)
的變形結果并進行驗證．
（2）針對上述各式反映的規律，寫出用n（n為任意的自然數，且n≥2）表示的等式，并給出證明．
分析：（1）通過觀察，不難發現：等式的變形過程利用了二次根式的性質
a2
=a（a≥0），把根號內的移到根號外；
（2）根據上述變形過程的規律，即可推廣到一般．表示左邊的式子時，觀察根號外的和根號內的分子、分母之間的關系可得：
1
n-1
(
1
n
-
1
n+1
)
=
1
n
n
n2-1
．
解答：解：（1）
1
4
(
1
5
-
1
6
)
=
1
5
5
24

驗證：
1
4
(
1
5
-
1
6
)
=
1
4×5×6
=
5
4×52×6
=
1
5
5
24
；
（2）
1
n-1
(
1
n
-
1
n+1
)
=
1
n
n
n2-1

驗證：
1
n-1
(
1
n
-
1
n+1
)
=
1
(n-1)n(n+1)
=
n
(n-1)n2(n+1)
=
1
n
n
(n-1)(n+1)
=
1
n
n
n2-1
．
點評：本題主要考查了二次根式的性質．此題是一個找規律的題目，觀察時，既要注意觀察等式的左右兩邊的聯系，還要注意右邊必須是一種特殊形式．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

探索規律
觀察下列各式及驗證過程：n=2時有式①：2×
2
3
=
2+
2
3
n=3時有式②：3×
3
8
=
3+
3
8

式①驗證：2×
2
3
=
23
3
=
(23-2)+2
22-1
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
3

式②驗證：3×
3
8
=
33
8
=
(33-3)+3
32-1
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
8

（1）針對上述式①、式②的規律，請寫出n=4時的式子；
（2）請寫出滿足上述規律的用n（n為任意自然數，且n≥2）表示的等式，并加以驗證．

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科目：初中數學 來源： 題型：

觀察下列各式及驗證過程：
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
3
3
8
驗證：
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
2×3×4
=
3
2×32×4
=
1
3
3
8
；
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
4
4
15
驗證：
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
3×4×5
=
4
3×42×5
=
1
4
4
15
；
（1）按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想
1
4
(
1
5
-
1
6
)
的變形結果并進行驗證；
（2）針對上述各式反映的規律，寫出用n（n為大于等于2的整數）表示的等式，并進行驗證．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（1）先化簡，再求值：(x+2-
5
x-2
)÷
x-3
x-2
，其中x=
5
-3；
（2）若a=1-
2
，先化簡再求
a2-1
a2+a
+
a2-2a+1
a2-a
的值；
（3）已知a=
2
+1，b=
2
-1，求a2-a2005b2006+b2的值；
（4）已知：實數a，b在數軸上的位置如圖所示，
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化簡：
(a+1)2
+2
(b-1)2
-|a-b|；
（5）觀察下列各式及驗證過程：
N=2時有式①：2×
2
3
=
2+
2
3

N=3時有式②：3×
3
8
=
3+
3
8

式①驗證：2×
2
3
=
23
3
=
(23-2)+2
22-1
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
3

式②驗證：3×
3
8
=
33
8
=
(33-3)+3
32-1
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
8

①針對上述式①、式②的規律，請寫出n=4時變化的式子；
②請寫出滿足上述規律的用n（n為任意自然數，且n≥2）表示的等式，并加以驗證．
（6）已知關于x的一元二次方程x2+（2m-1）+m2=0有兩個實數根x1和x2．    ①求實數m的取值范圍；②當x12-x22=0時，求m的值．

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科目：初中數學 來源： 題型：

觀察下列各式及驗證過程：
1
2
-
1
3
=
1
2
2
3
，驗證
1
2
-
1
3
=
1
2×3
=
2
22×3
=
1
2
2
3
；
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
3
3
8
，驗證
1
2
(
1
3
-
1
4
)
=
1
2×3×4
=
3
2×32×4
=
1
3
3
8
；
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
4
4
15
，驗證
1
3
(
1
4
-
1
5
)
=
1
3×4×5
=
4
3×42×5
=
1
4
4
15
…
（1）按照上述三個等式及其驗證過程中的基本思想，猜想
1
4
(
1
5
-
1
6
)
的變形結果并進行驗證．
（2）針對上述各式反映的規律，寫出用n（n為自然數，且n≥1）表示的等式，不需要證明．

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同步練習冊答案
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