Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+2經過點A(﹣1，0)和點B(4，0)，且與y軸交于點C，點D的坐標為(2，0)，點P(m，n)是該拋物線上的一個動點，連接CA，CD，PD，PB．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當△PDB的面積等于△CAD的面積時，求點P的坐標；

(3)當m＞0，n＞0時，過點P作直線PE⊥y軸于點E交直線BC于點F，過點F作FG⊥x軸于點G，連接EG，請直接寫出隨著點P的運動，線段EG的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P的坐標是（1，3）、（2，3）、（5，-3）或（-2，-3）；（3）線段EG的最小值為..

【解析】

（1）根據拋物線y=ax2+bx+2經過點A（-1，0）和點B（4，0），應用待定系數法，求出該拋物線的解析式即可；

（2）首先根據三角形的面積的求法，求出△CAD的面積，即可求出△PDB的面積，然后求出BD=2，即可求出|n|=3，據此判斷出n=3或-3，再把它代入拋物線的解析式，求出x的值是多少，即可判斷出點P的坐標；

（3）首先應用待定系數法，求出BC所在的直線的解析式，然后根據點P的坐標是（m，n），求出點F的坐標，再根據二次函數最值的求法，求出EG2的最小值，即可求出線段EG的最小值．

解：（1）把A（-1，0），B（4，0）兩點的坐標代入y=ax2+bx+2中，可得

，

解得：，

∴拋物線的解析式為：；

（2））∵拋物線的解析式為，

當x=0時，y=2，

∴點C的坐標是（0，2），

∵點A（-1，0）、點D（2，0），

∴AD=2-（-1）=3，

∴S△CAD =，

∴S△PDB =3，

∵點B（4，0）、點D（2，0），

∴BD=2，

∴|n|=3×2÷2=3，

∴n=3或-3，

①當n=3時，

，

解得：m=1或m=2，

∴點P的坐標是（1，3）或（2，3）；

②當n=-3時，

解得m=5或m=-2，

∴點P的坐標是（5，-3）或（-2，-3）；

綜上，可得點P的坐標是（1，3）、（2，3）、（5，-3）或（-2，-3）；

（3）如圖，

設BC所在的直線的解析式是：y=mx+n，

∵點C的坐標是（0，2），點B的坐標是（4，0），

∴，

解得：，

∴BC所在的直線的解析式是：，

∵點P的坐標是（m，n），

∴點F的坐標是（4-2n，n），

∴

，

∴當時，線段EG有最小值：，

∴線段EG的最小值為.