Question

【題目】在矩形中，，，是的一點，且，是上一點，射線交的延長線于點，交于點，連結，，交于點．

（1）當點為中點時，則 ， ；（直接寫出答案）

（2）在整個運動過程中，的值是否會變化，若不變，求出它的值；若變化，請說明理由；

（3）若為等腰三角形時，請求出所有滿足條件的的長度．

Answer 1

【答案】（1）8，；（2）不變，；（3）或1或

【解析】

如圖1，過G作GH⊥AD于H，先證明AE=AM=2，得∠AEM=∠DEF=45°，則DF=DE=8，再求CG的長，根據勾股定理計算EG的長；

（2）根據ME⊥EG，證明△AME∽△HEG，△EHG∽△FDE，可得，可得∠EGM=∠EFG．可得∠MGF=90°，由三角函數定義可得結論；

（3）設AM=m，則BM=4-m，DF=4m，證明△MBG∽△GCF，表示CG=8-2m，BG=2+2m．分三種情況進行討論，根據平行線分線段成比例定理和三角函數定義列等式可得結論．

（1）如圖1，過G作GH⊥AD于H，

∵點M為AB中點，AB=4，

∴AM=2，

∵AE=2，

∴AE=AM=2，

∴DE=10-2=8，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠CDA=90°，

∴∠AEM=∠DEF=45°，

∴DF=DE=8，

∵EG⊥ME，

∴∠MEG=90°，

∴∠HEG=∠EGH=45°，

∴GH=EH=4，

∴，

故答案為： 8，

（2）∵

∴，

∴，

∴，

∴∠EGM=∠EFG．

∴∠EGM=∠EFG．

∵∠EGF+∠EFG=90°，

∴∠EGF+∠EGM=90°，即∠MGF=90°，

∴．

（3）設，則，，∴．

∵，∴，

∴，

∴，．

（ⅰ）當時，過點作于點，

則，

∴．

∵，∴，即

∴

解得或（舍去）．

（ⅱ）當是，．

∵，∴，

∴．

過點作于點，則，

∴，

∴．

（ⅲ）當時，．

∵，∴，

∴

∴

∴．

綜上所述：當或1或時，為等腰三角形．