Question

【題目】規定：把一次函數y＝kx＋b的一次項系數和常數項互換得y=bx＋k，我們稱y＝kx＋b和y＝bx＋k(其中k·b≠0，且|k|≠|b|))為互助一次函數，例如：y＝－2x＋3和y＝3x－2就是互助一次函數．如圖1所示，一次函數y＝kx＋b和它的互助一次函數的圖象1，2交于點P，1，2與x軸、y軸分別交于點A，B和點C，D．

(1)如圖1所示，當k＝－1，b＝5時，直接寫出點P的坐標是_________．

(2)如圖2所示，已知點M(－1，1.5)，N(－2，0)．試探究隨著k，b值的變化，MP＋NP的值是否發生變化，若不變，求出MP＋NP的值；若變化，求出使MP＋NP取最小值時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）使取最小值時的點坐標為

【解析】

（1）根據互助一次函數的定義，由k＝－1，b＝5分別寫出兩個函數解析式，聯立，解二元一次方程組，即可求出交點P的坐標；

（2）聯立，解得=1，故點在直線上運動，的值隨之發生變化；作N點關于的對稱點，根據兩點之間線段最短，可知連接對稱點和M的線段就是MP＋NP的最小值，用待定系數法求出直線的函數解析式，進而求出P點坐標．

（1）聯立

解得：

即P點坐標為，

故答案為：；

（2）由解得，

即，

隨著值的變化，點在直線上運動，的值隨之發生變化，如圖所示，作點關于直線的對稱點，連接交直線于點，則此時取得最小值．

設直線的函數解析式為，

分別將M(－1，1.5)和代入解析式得：

解得：

∴直線的函數解析式為：，

令，則

．

使取最小值時的點坐標為．