Question

對于多項式x³-5x²+x+10，如果我們把x=2代入此多項式，發現多項式x³-5x²+x+10=0，這時可以斷定多項式中有因式（x-2）（注：把x=a代入多項式能使多項式的值為0，則多項式含有因式（x-a）），于是我們可以把多項式寫成：x³-5x²+x+10=（x-2）（x²+mx+n），
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上這種因式分解的方法叫試根法，用試根法分解多項式x³-2x²-13x-10的因式．

Answer 1

（1）方法一：因（x-2）（x²+mx+n）=x³+（m-2）x²+（n-2m）x-2n，
=x³-5x²+x+10，（2分）
所以

m-2=-5 n-2m=1 -2n=10

，
解得：m=-3，n=-5（5分），
方法二：在等式x³-5x²+x+10=（x-2）（x²+mx+n）中，
分別令x=0，x=1，
即可求出：m=-3，n=-5（注：不同方法可根據上面標準酌情給分）

（2）把x=-1代入x³-2x²-13x-10，得其值為0，
則多項式可分解為（x+1）（x²+ax+b）的形式，（7分）
用上述方法可求得：a=-3，b=-10，（8分）
所以x³-2x²-13x-10=（x+1）（x²-3x-10），（9分）
=（x+1）（x+2）（x-5）．（10分）