Question

【題目】如圖，拋物線m：y=﹣0.25（x+h）2+k與x軸的交點為A，B，與y軸的交點為C，頂點為M（3，6.25），將拋物線m繞點B旋轉180°，得到新的拋物線n，它的頂點為D．

（1）求拋物線n的解析式；

（2）設拋物線n與x軸的另一個交點為E，點P是線段DE上一個動點（P不與D，E重合），過點P作y軸的垂線，垂足為F，連接EF．如果P點的坐標為（x，y），△PEF的面積為S，求S與x的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；

（3）設拋物線m的對稱軸與x軸的交點為G，以G為圓心，A，B兩點間的距離為直徑作⊙G，試判斷直線CM與⊙G的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x+36；（2）S=﹣x2+x（13＜x＜18），△PEF的面積S沒有最大值；（3）直線CM與⊙G相切，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）根據拋物線m的頂點為M（3，6.25）得出m的解析式為y=-（x-3）2+=-（x-8）（x+2），求出A（-2，0），B（8，0），再根據旋轉的性質得出D的坐標為（13，-6.25），進而求出拋物線n的解析式；
（2）由點E與點A關于點B成中心對稱，得出E（18，0），利用待定系數法求出直線DE的解析式為y=x-，再根據S△PEF=PFOF得出S與x的函數關系式，進而求解即可；
（3）利用勾股定理求出CG==5=⊙G的半徑，得出點C在⊙G上．過M作y軸的垂線，垂足為N，連結CM，利用勾股定理求出CM2=CN2+MN2=（-4）2+32=，計算得出CG2+CM2=52+==（）2=GM2，根據勾股定理的逆定理得到CG⊥CM，由切線的判定定理即可得出直線CM與⊙G相切．

試題解析：（1）∵拋物線m：y=﹣0.25（x+h）2+k的頂點為M（3，6.25），

∴m的解析式為y=﹣（x﹣3）2+=﹣（x﹣8）（x+2），

∴A（﹣2，0），B（8，0），

∵將拋物線m繞點B旋轉180°，得到新的拋物線n，它的頂點為D，

∴D的坐標為（13，﹣6.25），

∴拋物線n的解析式為y=（x﹣13）2﹣，即y=x2﹣x+36；

（2）∵點E與點A關于點B成中心對稱，

∴E（18，0）．

設直線DE的解析式為y=kx+b，

則，解得

∴y=x﹣，

∵P點的坐標為（x，y），13＜x＜18，

∴S△PEF=PFOF=x（﹣y）=﹣xy=﹣x（x﹣）=﹣x2+x，

即S=﹣x2+x（13＜x＜18），

∴當x==9時，S有最大值，但13＜x＜18，所以△PEF的面積S沒有最大值；

（3）直線CM與⊙G相切，理由如下：

∵拋物線m的解析式為y=﹣（x﹣3）2+=﹣（x﹣8）（x+2），

∴令x=0，得y=4，

∴C（0，4）．

∵拋物線m的對稱軸與x軸的交點為G，

∴G（3，0），

∵OC=4，OG=3，連結CG，

∴CG==5，

∵AB=10，

∴⊙G的半徑是5，

∴點C在⊙G上．

過M作y軸的垂線，垂足為N，連結CM，

則CM2=CN2+MN2=（﹣4）2+32=，

又CG2+CM2=52+==（）2=GM2，

∴CG⊥CM，

∴直線CM與⊙G相切．