Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝8，AC＝4，D是AB邊上一點，P是優(yōu)弧的中點，連接PA、PB、PC、PD，當BD的長度為多少時，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形？并加以證明。

Answer 1

當BD=4時，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形，證明見解析

解：當BD=4時，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形。理由如下：
∵P是優(yōu)弧 的中點，∴。∴PB=PC。
若△PAD是以AD為底邊的等腰三角形，則PA=PD。
又∵∠PAD=∠PCB，∴△PAD∽△PCB。∴∠DPA=∠BPC。∴∠BPD=∠CPA。
在△PBD與△PCA中，∵PB=PC，∠BPD=∠CPA，PD="PA" ，∴△PBD≌△PCA（SAS）。
∴BD=AC=4。
由于以上結(jié)論，反之也成立，
∴當BD=4時，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形。
根據(jù)等弧對等弦以及全等和相似三角形的判定與性質(zhì)進行求解。