Question

【題目】如圖，已知， ，且，滿足，為第一象限內一點，連接，連接交軸于點，且．

(1)求、兩點的坐標；

(2)如圖①，若的面積為20，求點的坐標；

(3)如圖②，在第四象限內過點作軸，且，連接．求證:， 且．

Answer 1

【答案】（1）點A坐標為（-4,0），點B的坐標為（0，-4）；（2）點D的坐標為（4,2）；（3）見解析

【解析】

（1）根據平方和絕對值的非負性即可得出結論；

（2）過點D作DE⊥y軸，利用AAS證出△DEC≌△AOC，從而得出DE=AO=4，S△DEC=S△AOC，然后根據已知面積即可求出OE的長，從而求出結論；

（3）利用SAS證出△ABE≌BFD，從而得出，∠EAB=∠DBF，然后根據三角形外角的性質和等量代換即可得出結論．

解：（1）∵，

∴

解得：a=b=-4

∴點A坐標為（-4,0），點B的坐標為（0，-4）

（2）過點D作DE⊥y軸于E

∴∠DEC=∠AOC=90°

在△DEC和△AOC中

∴△DEC≌△AOC

∴DE=AO=4，S△DEC=S△AOC

∵的面積為20

∴S△AOB＋S△AOC＋S△DCB=20

∴S△AOB＋S△DEC＋S△DCB=20

∴S△AOB＋S△DEB=20

∴OA·OB＋BE·DE=20

∴×4×4＋BE×4=20

解得：BE=6

∴OE=BE－OB=2

∴點D的坐標為（4,2）

（3）過點D作DF⊥x軸于F,連接BF，設BD與AE交于點G

∴DF∥OC

∵AC=CD

∴AO=OF

∴OB垂直平分AF，DF=2OC

∴AB=BF

∴∠BAF=∠BFA

∵OA=OB，∠AOB=90°

∴∠BAF=∠OBA=45°

∴△ABF為等腰直角三角形，∠ABF=90°

∴∠ABE=135°，∠BFD=135°

∴∠ABE=∠BFD

∵

∴BE=DF

在△ABE和△BFD中

∴△ABE≌BFD

∴，∠EAB=∠DBF

∴∠BGE=∠EAB＋∠GBA=∠DBF＋∠GBA=∠ABF=90°

∴