Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，∠ABC=30°，過點B作⊙O的切線BD，與CA的延長線交于點D，與半徑AO的延長線交于點E，過點A作⊙O的切線AF，與直徑BC的延長線交于點F．

（1）求證：△ACF∽△DAE；
（2）若S△AOC= ，求DE的長；
（3）連接EF，求證：EF是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC=90°，

∵∠ABC=30°，

∴∠ACB=60°

∵OA=OC，

∴∠AOC=60°，

∵AF是⊙O的切線，

∴∠OAF=90°，

∴∠AFC=30°，

∵DE是⊙O的切線，

∴∠DBC=90°，

∴∠D=∠AFC=30，

∵∠DAE=ACF=120°，

∴△ACF∽△DAE；

（2）

∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，

∴∠CAF=30°，

∴∠CAF=∠AFC，

∴AC=CF

∴OC=CF，

∵S△AOC= ，

∴S△ACF= ，

∵∠ABC=∠AFC=30°，

∴AB=AF，

∵AB= BD，

∴AF= BD，

∴∠BAE=∠BEA=30°，

∴AB=BE=AF，

∴ = ，

∵△ACF∽△DAE，

∴ =（ ）2= ，

∴S△DAE= ，

過A作AH⊥DE于H，

∴AH= DH= DE，

∴S△ADE= DEAH= × DE2= ，

∴DE= ；

（3）

∵∠EOF=∠AOB=120°，

在△AOF與△BOE中， ，

∴△AOF≌△BEO，

∴OE=OF，

∴∠OFG= （180°﹣∠EOF）=30°，

∴∠AFO=∠GFO，

過O作OG⊥EF于G，

∴∠OAF=∠OGF=90°，

在△AOF與△OGF中， ，

∴△AOF≌△GOF，

∴OG=OA，

∴EF是⊙O的切線．

【解析】（1）根據圓周角定理得到∠BAC=90°，根據三角形的內角和得到∠ACB=60°根據切線的性質得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到結論；（2）根據S△AOC= ，得到S△ACF= ，通過△ACF∽△DAE，求得S△DAE= ，過A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH= DH= DE，由三角形的面積公式列方程即可得到結論；（3）根據全等三角形的性質得到OE=OF，根據等腰三角形的性質得到∠OFG= （180°﹣∠EOF）=30°，于是得到∠AFO=∠GFO，過O作OG⊥EF于G，根據全等三角形的性質得到OG=OA，即可得到結論．