Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD內作∠EAF=45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，過點A作AH⊥EF，垂足為H．

（1）如圖2，將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG．
①求證：△AGE≌△AFE；
②若BE=2，DF=3，求AH的長．
（2）如圖3，連接BD交AE于點M，交AF于點N．請探究并猜想：線段BM，MN，ND之間有什么數量關系？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①由旋轉的性質可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BAD=90°．

又∵∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°．

∴∠BAG+∠BAE=45°．

∴∠GAE=∠FAE．

在△GAE和△FAE中 ，

∴△GAE≌△FAE．

②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，

∴AB=AH，GE=EF=5．

設正方形的邊長為x，則EC=x﹣2，FC=x﹣3．

在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．

解得：x=6．

∴AB=6．

∴AH=6．

（2）

解：如圖所示：將△ABM逆時針旋轉90°得△ADM′．

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ABD=∠ADB=45°．

由旋轉的性質可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．

∴∠NDM′=90°．

∴NM′2=ND2+DM′2．

∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，

∴∠EAF=∠FAM′=45°．

在△AMN和△ANM′中， ，

∴△AMN≌△ANM′．

∴MN=NM′．

又∵BM=DM′，

∴MN2=ND2+BM2．

【解析】本題主要考查的是四邊形的綜合應用，解答本題主要應用了旋轉的性質、全等三角形的性質和判定、勾股定理的應用，正方形的性質，依據旋轉的性質構造全等三角形和直角三角形是解題的關鍵．（1）①由旋轉的性質可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下來在證明∠GAE=∠FAE，然后依據SAS證明△GAE≌△FAE即可；②由全等三角形的性質可知：AB=AH，GE=EF=5．設正方形的邊長為x，接下來，在Rt△EFC中，依據勾股定理列方程求解即可；（2）將△ABM逆時針旋轉90°得△ADM′．在△NM′D中依據勾股定理可證明NM′2=ND2+DM′2 ， 接下來證明△AMN≌△ANM′，于的得到MN=NM′，最后再由BM=DM′證明即可．