Question

【題目】在平面直角坐標系中,O為坐標原點,拋物線交x軸于點A(l,0)、B(3,0),交y軸于點C.

(1)如圖1,求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點P為對稱軸右側第四象限拋物線上一點,連接PA并延長交y軸于點K,點P橫坐標為t,△PCK的面積為S,求S與t的函數關系式(直接寫出自變量t的取值范圍）；

(3)如圖3,在(2)的條件下,過點A作AD⊥AP交y軸于點D.連接OP,過點O作OE⊥OP交AD延長線于點E,當OE=OP時,延長EA交拋物線于點Q,點M在直線EC上,連接QM,交AB于點H，將射線QM繞點Q逆時針旋轉45°,得到射線QN交AB于點F,交直線EC于點N,若AH:HF=3:5,求的值.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法即可解決問題；

（2）過點P作PG⊥x軸于點G，PS⊥y軸于點S，求出CK、PS的值即可解決問題；

（3）首先確定點Q（2，1），AT=BT=1，推出∠AQB=90°，過點A作AU⊥x軸 并截取AU=BF，連接QU，由△QAU≌△QBF，推出∠AQU=∠BQF，推出QF=QU，∠HQU=∠HQF=45°，QH=QH，推出△QUH≌△QHF，推出UH=HF，設AH=3k，則HF=5k．在Rt△AUH中，AU=3k，推出AH：HF：FB=3：5：4推出AH=HT=，TF=tan∠HQT= tan∠FQT=，設EC直線解析式為y=kx+b 過點E（﹣3，﹣4），點C（0，﹣3），所求解析式為y=x﹣3，過點M作MV⊥QV 過點N作NL⊥QV于點L 設點M（x， ﹣3），由tan∠HQT== 可得x=0，點M（0，﹣3）與點C重合，設點N（n， n﹣3），tan∠FQT==解得n=3，可得==；

試題解析：解：（1）將A（1，0），B（3，0）代入拋物線解析式得： ，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x﹣3；

（2）過點P作PG⊥x軸于點G，PS⊥y軸于點S，

AG=t﹣1 GP=t2﹣4t+3．在Rt△PAG中，tan∠PAG===t﹣3．在Rt△AKO中，tan∠KAO===t﹣3，OK=t﹣3，∴CK=t﹣3+3=t，∴S=CKPS=t2（t＞3）．

（3）過點E作ER⊥x軸于點R．∵OE⊥OP，∠REO=∠POG，OE=OP，∠ERO=∠OGP，∴△OER≌△POG，∴OG=ER=t，OR=PG=t2﹣4t+3，AR=t2﹣4t+4，∠REA=∠PAG，tan∠REA==，tan∠REA=tan∠PAG， =t﹣3，解得：t=4，∴點E（﹣3，﹣4）點P（4，﹣3），CP∥OG AR=ER=4，∴∠EAR=∠QAB=45°，過點Q作QT⊥x軸于點T，并延長CP于點V，連接QB，設點Q（m，﹣m2+4m﹣3），由QT=span>AT 可得﹣m2+4m﹣3=m﹣1，解得m=1或2，∴點Q（2，1），AT=BT=1，∴∠AQB=90°，過點A作AU⊥x軸 并截取AU=BF，連接QU，∠QAU=∠QBT=45°，QA=QB，∴△QAU≌△QBF，∴∠AQU=∠BQF，∴QF=QU，∠HQU=∠HQF=45°，QH=QH，∴△QUH≌△QHF，∴UH=HF，設AH=3k，則HF=5k．在Rt△AUH中，AU=3k，∴AH：HF：FB=3：5：4，∴AH=HT=，TF=tan∠HQT= tan∠FQT=，設EC直線解析式為y=kx+b 過點E（﹣3，﹣4），點C（0，﹣3），所求解析式為y=x﹣3，過點M作MV⊥QV 過點N作NL⊥QV于點L 設點M（x， ﹣3），由tan∠HQT==，可得x=0，點M（0，﹣3）與點C重合，設點N（n， n﹣3），tan∠FQT==，解得：n=3，∴==．