Question

【題目】在一次“構(gòu)造勾股數(shù)”的探究性學(xué)習(xí)中，老師給出了下表：

其中m、n為正整數(shù)，且m>n.

(1)觀察表格，當(dāng)m=2，n=1時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的a、b、c的值能否為直角三角形三邊的長(zhǎng)?說(shuō)明你的理由．

(2)探究a，b，c與m、n之間的關(guān)系并用含m、n的代數(shù)式表示：a=___，b=___，c=___.

(3)以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形是否一定為直角三角形?如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不是，請(qǐng)舉出反例.

Answer 1

【答案】（1）能，理由見(jiàn)解析；（2）m2+n2，2mn，m2-n2；（3）一定，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）計(jì)算出a、b、c的值，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷；
（2）根據(jù)給出的數(shù)據(jù)總結(jié)即可；
（3）分別計(jì)算出a2、b2、c2，根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷．

解：（1）當(dāng)m=2，n=1時(shí)，a=5、b=4、c=3，
∵32+42=52，
∴a、b、c的值能為直角三角形三邊的長(zhǎng)；
（2）觀察得，a=m2+n2，b=2mn，c=m2-n2；
（3）以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形，
∵a2=（m2+n2）2=m4+2m2n2+n4，
b2+c2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4，
∴a2=b2+c2，
∴以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形．