Question

如圖，已知△ABC中，∠B="90" º，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發，設出發的時間為t秒．

（1）出發2秒后，求PQ的長；
（2）當點Q在邊BC上運動時，出發幾秒鐘，△PQB能形成等腰三角形？
（3）當點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間（只要直接寫出答案）．

Answer 1

（1）；（2）；（3）5.5或6或6.6s

試題分析：（1）根據點P、Q的運動速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）設出發t秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形，則BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；
（3）當點Q在邊CA上運動時，能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間有三種情況：
①當CQ=BQ時（圖1），則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；
②當CQ=BC時（如圖2），則BC+CQ=12，易求得t；
③當BC=BQ時（如圖3），過B點作BE⊥AC于點E，則求出BE，CE，即可得出t．
試題解析：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB-AP=8-2×1=6cm，
∵∠B=90°，
∴；
（2）由BQ=2t，BP=8-t可得2t=8-t，解得；
（3）①當CQ=BQ時（圖1），則∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5，
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒；
②當CQ=BC時（如圖2），則BC+CQ=12

∴t=12÷2=6秒；
③當BC=BQ時（如圖3），過B點作BE⊥AC于點E，

則，
所以，
故CQ=2CE=7.2，
所以BC+CQ=13.2，
∴t=13.2÷2=6.6秒
由上可知，當t為5.5秒或6秒或6.6秒時，△BCQ為等腰三角形．