Question

已知Rt△ABC中，直角邊AC=3，BC=4，P、Q分別是AB、BC上的動點，且點P不與A、B重合．點Q不與B、C重合．
（1）若CP⊥AB于點P，如圖1，△CPQ為等腰三角形，這時滿足條件的點Q有幾個？直接寫出相等的腰和相應的CQ的長（不寫解答過程）
（2）當P是AB的中點時，如圖2，若△CPQ與△ABC相似，這時滿足條件的點Q有幾個？分別求出相應的CQ的長？
（3）當CQ的長取不同的值時，除PQ垂直于BC的△CPQ外，其余的△CPQ是否可能為直角三角形？若可能，請說明所有情況？若不可能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當CP為等腰三角形的底邊時作CP的垂直平分線，交BC于Q，
則腰是CQ=PQ；
此時CQ=BC=1.5；
當CP為腰時，在BC上截取CQ=CP，
則腰是CP=CQ′，
此時CQ=CP==2.4；
（2）當P是AB的中點時，如圖2，若△CPQ與△ABC相似，這時滿足條件的點Q有3個，
①當△COQ∽△BCA，時，
∴=，
∴CQ=BC=2；
②△PQ′B∽△CAB時，
∴，
∵AP=BP=AB=2.5，BC=4，
∴，
∴BQ′=，
∴CQ′=4-=；
③△CPQ″∽△BCA時，
∴，
∴，
∴CQ″=；
（3）可能．
過Q作QP⊥BC，交AB于P點，連接CP，則△CPQ為直角三角形，作∠CAB的平分線AO，交BC于O點．作OP₁⊥AB于P₁點．
∴CO=OP₁以O為圓心，OC為半徑作⊙O，⊙O與AB相切，切點為P₁，與CB的交點為D．
設CO=t，則OP₁=t，CD=2t，OB=4-t．
由△ABC∽△OBP₁，得
，
∴=，
解得：t=1.5，
∴CD=3，
∴當Q與點D重合時，以CQ為直徑的圓與AB相切，切點為P₁，連CP₁、P₁Q，△CP₁Q為直角三角形，此時共有兩個直角三角形，
當Q點在線段CD上時（不與C、D重合），0＜CQ＜3，CQ為直徑的圓與AB相離，此時只有一個直角三角形CQP．
當Q點在DB上時（不與D、B重合），3＜CQ＜4，以CQ為直徑的圓與AB有兩個交點P₂、P₃．分別連接P₂、P₃與點C和Q，得直角三角形CQP₂和CQP₃，此時有三個直角三角形．
分析：（1）當CP為等腰三角形的底邊時作CP的垂直平分線，交BC于Q，則△CPQ為等腰三角形；當CP為腰時，在BC上截取CQ=CP即可，所以這樣的點有兩個，分別求出即可；
（2）根據題意畫出符合條件的三角形即可求出Q的位置，進而求出出相應的CQ的長；
（3）過Q作QP⊥BC，交AB于P點，連接CP，則△CPQ為直角三角形，作∠CAB的平分線AO，交BC于O點．作OP₁⊥AB于P₁點．設CO=t，則OP₁=t，CD=2t，OB=4-t．先根據相似三角形△ABC∽△OBP₁的性質求得t值，即得到線段CD的長度，再分情況討論．①Q與點D重合時，以CQ為直徑的圓與AB相切，②Q點在線段CD上時（不與C、D重合），0＜CQ＜3，以CQ為直徑的圓與AB相離，③Q點在DB上時（不與D、B重合），3＜CQ＜4，以CQ為直徑的圓與AB有兩個交點P₂、P₃．
點評：本題考查了直角三角形的性質，等腰三角形的判定和性質以及相似三角形的性質和判定，此類題目還是相似與圓的知識的綜合運用，難點在第（3）題，解決的根據是三角形相似的性質和直線和圓的三種位置關系．