Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣ x﹣2（a≠0）的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標為（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；
（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

方法一：解：將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：

0=16a﹣ ×4﹣2，即：a= ；

∴拋物線的解析式為：y= x2﹣ x﹣2

（2）

方法一：解：由（1）的函數解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；

∴OA=1，OC=2，OB=4，

即：OC2=OAOB，又：OC⊥AB，

∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，

∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；

所以該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為：（ ，0）

方法二：

解：∵y= （x﹣4）（x+1），

∴A（﹣1，0），B（4，0）．C（0，﹣2），

∴KAC= =﹣2，KBC= = ，

∴KAC×KBC=﹣1，∴AC⊥BC，

∴△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，△ABC的外接圓的圓心是AB的中點，△ABC的外接圓的圓心坐標為（ ，0）

（3）

方法一：解：已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直線BC的解析式為：y= x﹣2；

設直線l∥BC，

則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當 直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程：

x+b= x2﹣ x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；

∴4﹣4× （﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；

∴直線l：y= x﹣4．

所以點M即直線l和拋物線的唯一交點，有：

，

解得：

即 M（2，﹣3）．

過M點作MN⊥x軸于N，

S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB= ×2×（2+3）+ ×2×3﹣ ×2×4=4

方法二：

解：過點M作x軸的垂線交BC′于H，

∵B（4，0），C（0，﹣2），

∴lBC：y= x﹣2，

設H（t， t﹣2），M（t， t2﹣ t﹣2），

∴S△MBC= ×（HY﹣MY）（BX﹣CX）= ×（ t﹣2﹣ t2+ t+2）（4﹣0）=﹣t2+4t，

∴當t=2時，S有最大值4，

∴M（2，﹣3）．

【解析】方法一：（1）該函數解析式只有一個待定系數，只需將B點坐標代入解析式中即可．（2）首先根據拋物線的解析式確定A點坐標，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標．（3）△MBC的面積可由S△MBC= BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC的距離最大，若設一條平行于BC的直線，那么當該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M．
方法二：（1）略．（2）通過求出A，B，C三點坐標，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC⊥BC，從而求出圓心坐標．（3）利用三角形面積公式，過M點作x軸垂線，水平底與鉛垂高乘積的一半，得出△MBC的面積函數，從而求出M點．
【考點精析】本題主要考查了拋物線與坐標軸的交點和三角形的面積的相關知識點，需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．；三角形的面積=1/2×底×高才能正確解答此題．