Question

【題目】在矩形中，，以為直徑的半圓在矩形的外部，如圖1，將半圓繞點順時針旋轉α度（0°≤ɑ≤180°）．

（1）在旋轉過程中，的最小值是_____________，當半圓的直徑落在對角線上時，如圖2，設半圓與的交點為，則長為__________．

（2）將半圓與直線相切時，切點為，半圓與線段的交點為，如圖3，求劣弧的長；

（3）在旋轉過程中，當半圓弧與直線只有一個交點時，設此交點與點的距離為請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；；（2）；（3）或

【解析】

（1）連接B′M，則∠B′MA=90°，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的長度，由∠B=∠B′MA=90°、∠BCA=∠MAB′可得出△ABC∽△AMB′，根據相似三角形的性質可求出AM的長度；

（2）連接OP、ON，過點O作OG⊥AD于點G，則四邊形DGON為矩形，進而可得出DG、AG的長度，在Rt△AGO中，由AO=2、AG=1可得出∠OAG=60°，進而可得出△AOP為等邊三角形，再利用弧長公式即可求出劣弧AP的長；

（3）由（2）可知：△AOP為等邊三角形，根據等邊三角形的性質可求出OG、DN的長度，進而可得出CN的長度，畫出點B′在直線CD上的圖形，在Rt△AB′D中（點B′在點D左邊），利用勾股定理可求出B′D的長度進而可得出CB′的長度，再結合圖形即可得出：半圓弧與直線CD只有一個交點時d的取值范圍．

解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，

∴AC=5，

在旋轉過程中，當點B′落在對角線AC上時，B′C的值最小，最小值為1；

在圖2中，連接B′M，則∠B′MA=90°，

在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，

∴AC=5，

∵∠B=∠B′MA=90°，∠BCA=∠MAB′，

∴△ABC∽△AMB′，

∴,即，

∴，

故答案為：1，；

（2）解：如圖3，連接，過作于點，

∵半圓與直線相切，

，

∴四邊形為矩形，

∴，

在中，，，

，

，

為等邊三角形，

，

∴劣弧的長=；

（3）由（2）可知：△AOP為等邊三角形，

∴，

∴，

當點B′在直線CD上時，如圖4所示，

在Rt△AB′D中（點B′在點D左邊），AB′=4，AD=3，

∴，

∴，

∵AB′為直徑，

∴∠AD B′=90°，

∴當點B′在點D右邊時，半圓交直線CD于點D、B′，

∴當半圓弧與直線CD只有一個交點時，或.