Question

【題目】（1）發現探究：如圖1，矩形和矩形位似，，連接，則線段與有何數量關系，關系是__________．直線與直線所夾銳角的度數是__________．

（2）拓展探究：如圖2，將矩形繞點逆時針旋轉角，上面的結論是否仍然成立？如果成立，請就圖2給出的情況加以證明．

（3）問題解決：若點是的中點，，連接，，在矩形繞點旋轉過程中，請直接寫出長的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）結論仍然成立，詳見解析；（3）．

【解析】

（1）由矩形的性質和三角函數的知識可得∠BAC=30°，然后根據位似圖形的性質可得A、F、C三點共線，EF∥BC以及直線與直線所夾銳角的度數，再根據平行線分線段成比例定理即得與的數量關系；

（2）易得，故可根據兩邊成比例且夾角相等證明∽，于是可得，∠ABE=∠ACF，于是只要求出即可求出直線與直線所夾銳角的度數，進而可得結論；

（3）如圖3，取的中點N，連接GN、MN，由三角形的三邊關系可知：（“=”號僅當G、N、M三點共線時成立），然后根據三角形的中位線定理和直角三角形斜邊中線的性質可分別求出MN和GN的長，進而可得結果．

解：（1）∵，∠B=90°，

∴∠BAC=30°，

∵矩形和矩形位似，

∴A、F、C三點共線，EF∥BC，直線與直線所夾銳角的度數是30°，

∴；

故答案為：；；

（2）結論仍然成立．

證明：如圖2，

∵，

∴，

∵，

∴∽，

∴，∠ABE=∠ACF，

∴，

∴直線與直線所夾銳角的度數=；

（3）如圖3，取的中點N，連接GN、MN，在中，（“=”號僅當G、N、M三點共線時成立），

∵，∴，

∵N為AF中點，M為CF中點，

∴，

∵N為AF中點，∠AGF=90°，，

∴，

∴

即GM長的取值范圍是：．