Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C（0，3），過點C作x軸的平行線與拋物線交于點D，拋物線的頂點為M，直線y=x+5經過D、M兩點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）連接AM、AC、BC，試比較∠MAB和∠ACB的大小，并說明你的理由．

Answer 1

（1）∵CD∥x軸且點C（0，3），
∴設點D的坐標為（x，3），
∵直線y=x+5經過D點，
∴3=x+5，
∴x=-2，
即點D（-2，3），
根據拋物線的對稱性，設頂點的坐標為M（-1，y），
又∵直線y=x+5經過M點，
∴y=-1+5，y=4、即M（-1，4），
∴設拋物線的解析式為y=a（x+1）²+4，
∵點C（0，3）在拋物線上，
∴a=-1，
即拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．（3分）


（2）作BP⊥AC于點P，MN⊥AB于點N；
由（1）中拋物線y=-x²-2x+3可得：
點A（-3，0），B（1，0），
∴AB=4，AO=CO=3，AC=3

2

，
∴∠PAB=45°；
∵∠ABP=45°，
∴PA=PB=2

2

，
∴PC=AC-PA=

2

；
在Rt△BPC中，tan∠BCP=

PB

PC

=2，
在Rt△ANM中，∵M（-1，4），
∴MN=4
、∴AN=2，
tan∠NAM=

MN

AN

=2，
∴∠BCP=∠NAM，
即∠ACB=∠MAB．（8分）