Question

如圖，直線y=-x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，P（a，b）為雙曲線y=

1

2x

(x＞0)上的一點，PM⊥x軸于M，交AB于E，PN⊥y軸于N，交AB于F．
（1）用含a，b的代數式表示E、F兩點的坐標及△EOF的面積；
（2）△EOF與△BOE是否相似？如果相似，請證明；如果不相似，請說明理由；
（3）無論點P在雙曲線第一象限部分上怎樣移動，證明∠EOF是一個定值．

Answer 1

分析：（1）由直線AB的解析式，易得OA=OB=1，那么△BFN、△BOA、△AME都是等腰直角三角形，可用a、b分別表示出BN、AM的長，即可得NF、EM的值，從而得到E、F的坐標；計算△EOF的面積時，可利用△AOF、△AOE的面積差來得到．
（2）已經求得了E、F的坐標，可利用坐標系兩點間的距離公式，分別表示出EF、OE、BE的長，然后判斷這三條線段是否成比例，即可判斷出△EOF、△BOE是否相似（注意公共角∠OEB這個隱含條件）．
（3）在（2）中，已證得△EOF、△BOE，根據相似三角形的對應角相等，即可得到∠EOF=∠EBO，從而確定∠EOF的具體度數．

解答：解：（1）由題意知：A（1，0），B（0，1）；
則：OA=OB=1，∠OBA=∠OAB=45°，△BNF、△EMA為等腰直角三角形；
∴BN=NF=1-b，EM=MA=1-a，即E（a，1-a），F（1-b，b）；
S_△EOF=S_△AOF-S_△AOE=

1

2

b-

1

2

（1-a）=

1

2

×1×[b-（1-a）]=

1

2

（a+b-1）．

（2）已知：B（0，1）、E（a，1-a）、F（1-b，b）；
則PF=PN-FN=a-（1-b）=a+b-1，PE=PM-EM=b-（1-a）=a+b-1，
在直角三角形PEF中，根據勾股定理得：EF=

(a+b-1)2+(b-1+a)2

=

2

（a+b-1），
同理：OE=

a2+(1-a)2

=

2a2-2a+1

，BE=

a2+(1-a-1)2

=

2

a；
因此：OE²=2a²-2a+1，EF•BE=2a（a+b-1）=2a²-2a+2ab；
由于點P在反比例函數的圖象上，那么：2ab=1，
即：EF•BE=2a²-2a+2ab=2a²-2a+1=OE²；
又由∠OEF=∠BEO，
∴△OEF∽△BEO．

（3）由（2）知：△OEF∽△BEO，則∠EOF=∠OBE=45°，
因此無論點P在第一象限怎樣移動，∠EOF的度數都是一個定值．

點評：此題是反比例函數的綜合題，融合了矩形、等腰直角三角形、三角形面積的求法、兩點間的距離公式、相似三角形的判定和性質等重要知識，難點在于第二問，熟練掌握相似三角形的判定是解決問題的關鍵．