Question

（本小題滿分12分）某班同學到野外活動，為測量一池塘兩端A、B的距離，設計了幾種方案，下面介紹兩種：（I）如圖（1），先在平地取一個可以直接到達A、B的點C，并分別延長AC到D，BC到E，使DC=AC，BC=EC，最后測出DE的距離即為AB的長。（II）如圖（2），先過B點作AB的垂線BF，再在BF上取C、D兩點，使BC=CD，接著過點D作BD的垂線DE，交AC的延長線于E，則測出DE的長即為AB的距離。閱讀后回答下列問題：

小題1:（1）方案（I）是否可行？為什么？
小題2:（2）方案（II）是否切實可行？為什么？
小題3:（3）方案（II）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是           ；若僅滿足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（II）是否成立？
小題4:（4）方案（II）中，若使BC=n·CD，能否測得（或求出）AB的長？理由是        ，若ED=m，則AB=     。

Answer 1

小題1:（1）方案（I）可行；
∵DC=AC，EC=BC且有對頂角∠ACB=∠DCE，
∴△ACB≌△DCE（SAS），∴AB=DE，
∴測出DE的距離即為AB的長。故方案（I）可行。（3分）
小題2:（2）方案（II）可行；
∵AB⊥BC，DE⊥CD，∴∠ABC=∠EDC=90°，
又∵BC=CD，∠ACB=∠ECD ，∴△ABC≌△EDC，∴AB=ED，
∴測出DE的長即為AB的距離。故方案（II）可行。（6分）
小題3:（3）方案（II）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是作直角三角形；
若∠ABD=∠BDE≠90°，∠ACB=∠ECD，∴△ABC∽△EDC，
∴，∴只要測出ED、BC、CD的長，即可求得AB的長。
∴ED的長不等于AB的長，∴方案（II）不成立。（9分）
小題4:（4）根據（3）中所求可以得出，∴，∵BC=n•CD，
∴ ABED=n，求出DE即可得出答案，
當ED=m，則AB=mn。（12分）

略