Question

如圖，拋物線y＝－x²＋mx＋n與x軸分別交于點A（4，0），B（－2，0），與y軸交于點C．

（1）求該拋物線的解析式；                                 
（2）M為第一象限內拋物線上一動點，點M在何處時，△ACM的面積最大；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在這樣的點P，使得△PAC為直角三角形？若存在，請求出所有可能點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y＝－x²＋2x＋8；（2）（2，8）；（3）（1，4＋）或（1，4－）

試題分析：（1）由拋物線股過點A（4，0），B（－2，0）根據待定系數法求解即可；
（2）設M坐標為（a，－a ²＋2a＋8），先求得點C的坐標，再求得直線AC的解析式，過點M作x軸的垂線，交AC于N，則N的坐標為(a，－2a＋8)，根據△ACM的面積＝△MNC的面積＋△AMN的面積再結合二次函數的性質求解即可；
（3）分①當∠ACP＝90°時，②當∠CAP＝90°時，③當∠APC＝90°時，這三種情況分析即可.
（1）∵y＝－x²＋mx＋n與x軸分別交于點A（4，0），B（－2，0），
∴解得
∴拋物線的解析式為y＝－x²＋2x＋8；
（2）設M坐標為（a，－a ²＋2a＋8），其中a＞0．
∵拋物線與y軸交于點C，
∴C(0，8)．
∵A（4，0），C(0，8)．
∴直線AC的解析式為y＝－2x＋8．
過點M作x軸的垂線，交AC于N，則N的坐標為(a，－2a＋8)．
∴△ACM的面積＝△MNC的面積＋△AMN的面積＝－a ²＋4a＝－(a－2)²＋4
當a＝2，即M坐標為（2，8）時，△ACM的面積最大，最大面積為4；
（3）①當∠ACP＝90°時，點P的坐標為(1，9.5)；
②當∠CAP＝90°時，點P的坐標為（1，－1.5）； 
③當∠APC＝90°時，點P的坐標為（1，4＋）或（1，4－）．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．