Question

如圖，梯形AOBC的頂點A和點C在反比例函數y=

k

x

的圖象上，點C在點A的右側，OA∥BC，上底邊OA在直線y=x上，下底邊BC交x軸于點E（2，0），點C的縱坐標是1．
（1）求反比例函數的表達式；
（2）求四邊形AOEC的面積；
（3）若將點E坐標改為（m，0），且m＞0，其它條件不變，探究四邊形AOEC的面積；
（4）若將點E坐標改為（m，0），且m＞0，點C的縱坐標改為n，且n＞0，其它條件不變，直接寫出四邊形AOEC的面積．

Answer 1

分析：（1）過點A，C分別作x軸的垂線，垂足分別是M，N，由于上底邊OA在直線y=x上故可得出AM=OM，CN=EN，故可得出C點坐標，進而得出反比例函數的解析式；
（2）先根據反比例函數的圖象與直線y=x相交于A點，求出A點坐標，由于直線解析式為y=x，可知∠AON=45°，從而得出△AOE為等腰直角三角形，求出AM與OM的長，將四邊形AOEC面積轉化為△AOM與梯形AMNC的面積之和與△CEN的面積之差．
（3）與（2）過程相同，只是將NE的長改為3-m．
（4）與（3）過程相同，只是將CN的長改為n．

解答：解：（1）如圖1，過點A，C分別作x軸的垂線，垂足分別是M，N
則AM=OM，CN=EN
∵點C的縱坐標為1，
∴CN=EN=1，
∵E（2，0），
∴ON=2+1=3，
∴點C的坐標為（3，1）
∴k=3，即y=

3

x

；
（2）將y=x與y=

3

x

組成方程組得，

y=x y= 3 x

，
解得

x= 3 y= 3

，

x=- 3 y=- 3

（舍去）．
將y=1代入y=

3

x

得，x=3，
即N點橫坐標為3，
MN=3-

3

，
S_{四邊形AOEC}=S_△AOM+S_梯形AMNC-S_△CEN
=

1

2

×

3

×

3

+

1

2

×（1+

3

）（3-

3

）-

1

2

×1×1
=1+

3

；
（3）S_{四邊形AOEC}=S_△AOM+S_梯形AMNC-S_△CEN
=

1

2

×

3

×

3

+

1

2

×（1+

3

）（3-

3

）-

1

2

×（3-m）×1
=

m

2

+

3

；
（4）S_{四邊形AOEC}=S_△AOM+S_梯形AMNC-S_△CEN
=

1

2

×

3

×

3

+

1

2

×（n+

3

）（3-

3

）-

1

2

×（3-m）×1
=

3- 3

2

n+

m

2

+

3 3 -3

2

．

點評：本題考查了反比例函數的綜合問題，將四邊形AOEC面積轉化為△AOM與梯形AMNC的面積之和與△CEN的面積之差是解題的基本思路，再利用函數圖象上點的坐標特征求出各圖形的表達式是解題的關鍵．