Question

【題目】如圖，A（0，4）是直角坐標系y軸上一點，動點P從原點O出發，沿x軸正半軸運動，速度為每秒1個單位長度，以P為直角頂點在第一象限內作等腰Rt△APB．設P點的運動時間為t秒．

（1）若AB∥x軸，如圖1，求t的值；

（2）設點A關于x軸的對稱點為A′，連接A′B，在點P運動的過程中，∠OA′B的度數是否會發生變化，若不變，請求出∠OA′B的度數，若改變，請說明理由．

（3）如圖2，當t＝3時，坐標平面內有一點M（不與A重合）使得以M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）∠OA′B的度數不變，∠OA′B＝，理由見解析；（3）點M的坐標為（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性質以及平行線的性質，可證明△AOP為等腰直角三角形，從而求得答案；

（2）根據對稱的性質得：PA＝PA'＝PB，由∠PAB+∠PBA＝90°，結合三角形內角和定理即可求得∠OA'B＝45°；

（3）分類討論：分別討論當△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB時，點M的坐標的情況；過點M作x軸的垂線、過點B作y軸的垂線，利用等腰直角三角形的性質及全等三角形的判定和性質求得點M的坐標即可.

（1）∵AB∥x軸，△APB為等腰直角三角形，

∴∠PAB＝∠PBA＝∠APO＝45°，

∴△AOP為等腰直角三角形，

∴OA＝OP＝4．

∴t＝4÷1＝4（秒），

故t的值為4．

（2）如圖2，∠OA′B的度數不變，∠OA′B＝45°，

∵點A關于x軸的對稱點為A′，

∴PA＝PA'，

又AP＝PB，

∴PA＝PA'＝PB，

∴∠PAA'＝∠PA'，∠PBA'＝∠PA'B，

又∵∠PAB+∠PBA＝90°，

∴∠PAA'+∠PA'A+∠PA'B+∠PBA'

＝180

90°

=90°，

∴∠AA'B＝45°，

即∠OA'B＝45°；

（3）當t＝3時，M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等，

①如圖3，若△ABP≌△MBP，

則AP＝PM，過點M作MD⊥OP于點D，

∵∠AOP＝∠PDM，∠APO＝∠DPM，

∴△AOP≌△MDP（AAS），

∴OA＝DM＝4，OP＝PD＝3，

∴M的坐標為：（6，-4）．

②如圖4，若△ABP≌△MPB，則，

過點M作M⊥x軸于點，過點作⊥x軸于點，過點作⊥軸于點，

∵△APB為等腰直角三角形，則△MPB也為等腰直角三角形，

∴∠BAP＝∠MPB=45，

∵，

∴

∴

∴

∵⊥x軸⊥軸

∴四邊形為矩形，

∴，則

在和中

∠BAF＝45+，∠MPE＝45+，

∴∠BAF＝∠MPE

∵

∴

∴

∴M的坐標為：（4，7），

③如圖5，若△ABP≌△MPB，則，

過點M作M⊥x軸于點，過點作⊥x軸于點，過點作⊥軸于點，

∵△APB為等腰直角三角形，則△MPB也為等腰直角三角形，

∴∠BAP＝∠MPB=45，

∵，

∴

∴

∴

∵⊥x軸⊥軸

∴四邊形為矩形，

∴，則

在和中

∵⊥軸

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴M的坐標為：（10，﹣1）．

綜合以上可得點M的坐標為：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．