Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．
（1）如果∠B+∠C=120°，則∠AED的度數= ． （直接寫出結果）
（2）根據（1）的結論，猜想∠B+∠C與∠AED之間的關系，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）60°
（2）解：∠AED= （∠B+∠C）．

理由如下：在四邊形ABCD中，

∵∠BAD+∠CDA+∠B+∠C=360°，

∴∠BAD+∠CDA=360°﹣（∠B+∠C），

又∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，

∴∠EAD= ∠BAD，∠EDA= ∠ADC，

∴∠EAD+∠EDA= ∠BAD+ ∠ADC= [360°﹣（∠B+∠C）]，

在△AED中，又∵∠AED=180°﹣（∠EAD+∠EDA），

=180°﹣ [360°﹣（∠B+∠C）]，

= （∠B+∠C），

故∠AED= （∠B+∠C）．

【解析】解：（1）在四邊形ABCD中，∵∠B+∠C=120°， ∴∠BAD+∠CDA=360°﹣120°=240°，
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠EAD= ∠BAD，∠EDA= ∠ADC，
∴∠EAD+∠EDA= ∠BAD+ ∠ADC= （∠BAD+∠CDA）= ×240°=120°，
在△AED中，∠AED=180°﹣（∠EAD+∠EDA），
=180°﹣120°，
=60°；
所以答案是：60°．
【考點精析】本題主要考查了多邊形內角與外角的相關知識點，需要掌握多邊形的內角和定理：n邊形的內角和等于（n-2）180°.多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°才能正確解答此題．