Question

【題目】已知:Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°.

(1)探究應用1:如圖1,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°，點D在線段CB上，以AD為邊作等邊△ADE，連接BE，為探究線段BE與DE之間的數量關系，組長已經添加了輔助線：取AB的中點F，連接EF.線段BE與DE之間的數量關系是_________,并說明理由；

(2)探究應用2:如圖2,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°，點D在線段CB的延長線上，以AD為邊作等邊△ADE，連接BE.線段BE與DE之間的數量關系是__________，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）BE=DE，理由見解析；（2）BE=DE，理由見解析

【解析】

（1）先根據F為AB中點和30°角的直角三角形的性質得出AC=AF，再利用等邊三角形的性質和SAS證明△ACD≌△AFE，可得∠C=∠AFE=90°，再利用線段垂直平分線的性質即可證得結論；

（2）如圖3，取AB的中點F，連接EF，仿（1）的思路證明即可.

(1)BE=DE.

理由：如圖1，∵F是AB的中點，∴AF=AB.

∵∠C=90°，∠ABC=30°，

∴AC=AB，∠CAB=60°.

∴AC=AF.

∵△ADE是等邊三角形，

∴AD=AE=DE，∠EAD=60°，

∴∠CAB=∠DAE，

∴∠CAB∠3=∠DAE∠3，

∴∠1=∠2.

在△ACD和△AFE中，

，

∴△ACD≌△AFE(SAS)，

∴∠C=∠AFE=90°，即EF⊥AB.

∵F是AB的中點，

∴EF是AB的垂直平分線，

∴AE=BE，

∴BE=DE.

故答案為：BE=DE；

(2)BE=DE.

理由：如圖3，取AB的中點F，連接EF，

∴AF=AB.

∵∠C=90°，∠ABC=30°，

∴AC=AB，∠CAB=60°.

∴AC=AF.

∵△ADE是等邊三角形，

∴AD=AE=DE，∠EAD=60°，

∴∠CAB=∠DAE，

∴∠CAD=∠BAE.

在△ACD和△AFE中，

，

∴△ACD≌△AFE(SAS)，

∴∠C=∠AFE=90°，

∴EF⊥AB.

∵F是AB的中點，

∴EF是AB的垂直平分線，

∴AE=BE，

∴BE=DE.

故答案為：BE=DE.