Question

（2006•海淀區）如圖，已知直角坐標系中一條圓弧經過正方形網格的格點A、B、C．
（1）用直尺畫出該圓弧所在圓的圓心M的位置；
（2）若A點的坐標為（0，4），D點的坐標為（7，0），試驗證點D是否在經過點A、B、C的拋物線上；
（3）在（2）的條件下，求證：直線CD是⊙M的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）題利用“兩弦垂直平分線的交點為圓心”可確定圓心位置；
（2）先根據A、B、C三點坐標，用待定系數法求出拋物線的解析式，然后將D點坐標代入拋物線的解析式中，即可判斷出點D是否在拋物線的圖象上；
（3）由于C在⊙M上，如果CD與⊙M相切，那么C點必為切點；因此可連接MC，證MC是否與CD垂直即可．可根據C、M、D三點坐標，分別表示出△CMD三邊的長，然后用勾股定理來判斷∠MCD是否為直角．
解答：（1）解：如圖1，點M即為所求；

（2）解：由A（0，4），可得小正方形的邊長為1，從而B（4，4）、C（6，2）
設經過點A、B、C的拋物線的解析式為y=ax²+bx+4
依題意，解得
所以經過點A、B、C的拋物線的解析式為y=-x²+x+4
把點D（7，0）的橫坐標x=7代入上述解析式，得
所以點D不在經過A、B、C的拋物線上；

（3）證明：如圖，設過C點與x軸垂直的直線與x軸的交點為E，連接MC，作直線CD

∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5
在Rt△CEM中，∠CEM=90°
∴MC²=ME²+CE²=4²+2²=20
在Rt△CED中，∠CED=90°
∴CD²=ED²+CE²=1²+2²=5
∴MD²=MC²+CD²
∴∠MCD=90°
∵MC為半徑
∴直線CD是⊙M的切線．
點評：本題為綜合題，涉及圓、平面直角坐標系、二次函數等知識，需靈活運用相關知識解決問題．本題考查二次函數、圓的切線的判定等初中數學的中的重點知識，試題本身就比較富有創新，在網格和坐標系中巧妙地將二次函數與圓的幾何證明有機結合，很不錯的一道題，令人耳目一新．