Question

（2006•海淀區）已知拋物線y₁=x²-2x+c的部分圖象如圖1所示．
（1）求c的取值范圍；
（2）若拋物線經過點（0，-1），試確定拋物線y₁=x²-2x+c的解析式；
（3）若反比例函數的圖象經過（2）中拋物線上點（1，a），試在圖2所示直角坐標系中，畫出該反比例函數及（2）中拋物線的圖象，并利用圖象比較y₁與y₂的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圖1中拋物線的圖象可知：c＜0且拋物線與x軸應該有兩個交點，因此△＞0，由此可求出c的取值范圍．
（2）將點（0，-1）的坐標代入拋物線中即可得出函數的解析式．
（3）求兩圖象交點是一個難點，兩圖象交點即為兩圖象所對應解析式構成方程組的解，觀察圖象，y₁與y₂除交點（1，-2）外，還有兩個交點大致為（-1，2）和（2，-1），把x=-1，y=2和x=2，y=-1分別代入y₁=x²-2x-1和y₂=可知，（-1，2）和（2，-1）是y₁與y₂的兩個交點．根據圖象可知：當x＜-1或0＜x＜1或x＞2時，y₁＞y₂，當x=-1或x=1或x=2時，y₁=y₂，當-1＜x＜0或1＜x＜2時，y₂＞y₁．
解答：解：（1）根據圖象可知c＜0
且拋物線y₁=x²-2x+c與x軸有兩個交點
所以一元二次方程x²-2x+c=0有兩個不等的實數根．
所以△=（-2）²-4c=4-4c＞0，且c＜0
所以c＜0．

（2）因為拋物線經過點（0，-1）
把x=0，y₁=-1代入y₁=x²-2x+c
得c=-1
故所求拋物線的解析式為y₁=x²-2x-1

（3）因為反比例函數的圖象經過拋物線y₁=x²-2x-1上的點（1，a）
把x=1，y₁=a代入y₁=x²-2x-1，得a=-2
把x=1，a=-2代入，得k=-2
所以
畫出的圖象如圖所示．
觀察圖象，y₁與y₂除交點（1，-2）外，還有兩個交點大致為（-1，2）和（2，-1）
把x=-1，y₂=2和x=2，y₂=-1；
分別代入y₁=x²-2x-1和可知：
（-1，2）和（2，-1）是y₁與y₂的兩個交點
根據圖象可知：當x＜-1或0＜x＜1或x＞2時，y₁＞y₂
當x=-1或x=1或x=2時，y₁=y₂
當-1＜x＜0或1＜x＜2時，y₂＞y₁．
點評：本題考查二次函數、反比例函數、一元二次方程根的判別式等知識，是一道綜合題，第（3）小題考查了學生的作圖和探究能力，屬于中難度題．