Question

如圖，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，AD為BC邊上的高，點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s，點Q沿CA、AB向終點B運動，速度為2cm/s，若點P、Q兩點同時出發，設它們的運動時間為x（s）．
（l）求x為何值時，PQ⊥AC；x為何值時，PQ⊥AB？
（2）當O＜x＜2時，AD是否能平分△PQD的面積？若能，說出理由；
（3）探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關系，請寫出相應位置關系的x的取值范圍（不要求寫出過程）．

Answer 1

分析：（1）若使PQ⊥AC，則根據路程=速度×時間表示出CP和CQ的長，再根據30度的直角三角形的性質列方程求解；
若使PQ⊥AB，則根據路程=速度×時間表示出BP，BQ的長，再根據30度的直角三角形的性質列方程求解；
（2）根據三角形的面積公式，要證明AD平分△PQD的面積，只需證明O是PQ的中點．根據題意可以證明BP=CN，則PD=DN，再根據平行線等分線段定理即可證明；
（3）根據（1）中求得的值即可分情況進行討論．

解答：解：（1）當Q在AB上時，顯然PQ不垂直于AC，
當Q在AC上時，由題意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x；
∵AB=BC=CA=4，
∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，則有∠QPC=30°，
∴PC=2CQ，
∴4-x=2×2x，
∴x=

4

5

；
當x=

4

5

（Q在AC上）時，PQ⊥AC；
如圖：①
當PQ⊥AB時，BP=x，BQ=

1

2

x，AC+AQ=2x；
∵AC=4，
∴AQ=2x-4，
∴2x-4+

1

2

x=4，
∴x=

16

5

，
故x=

16

5

時PQ⊥AB；

（2）當0＜x＜2時，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；
∴NC=x，
∴BP=NC，
∵BD=CD，
∴DP=DN；
∵AD⊥BC，QN⊥BC，
∴DP=DN；
∵AD⊥BC，QN⊥BC，
∴AD∥QN，
∴OP=OQ，
∴S_△PDO=S_△DQO，
∴AD平分△PQD的面積；

（3）顯然，不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離，
當x=

4

5

或

16

5

時，以PQ為直徑的圓與AC相切，
當0≤x＜

4

5

或

4

5

＜x＜

16

5

或

16

5

＜x≤4時，以PQ為直徑的圓與AC相交．

點評：此題綜合運用了等邊三角形的性質、直角三角形的性質以及直線和圓的位置關系求解．解題的關鍵是用動點的時間x和速度表示線段的長度，本題有一定的綜合性，難度中等．