Question

如圖，已知點A（0，4），B（2，0）．

（1）求直線AB的函數解析式；
（2）已知點M是線段AB上一動點（不與點A、B重合），以M為頂點的拋物線y=（x﹣m）²+n與線段OA交于點C．
①求線段AC的長；（用含m的式子表示）
②是否存在某一時刻，使得△ACM與△AMO相似？若存在，求出此時m的值．

Answer 1

解：（1）設直線AB的函數解析式為：y=kx+b，
∵點A坐標為（0，4），點B坐標為（2，0），
∴，解得：。
∴直線AB的函數解析式為y=﹣2x+4。
（2）①∵以M為頂點的拋物線為y=（x﹣m）²+n，
∴拋物線頂點M的坐標為（m，n）。
∵點M在線段AB上，∴n=﹣2m+4。
∴y=（x﹣m）²﹣2m+4。
把x=0代入y=（x﹣m）²﹣2m+4，得y=m²﹣2m+4，
∴C點坐標為（0，m²﹣2m+4）。
∴AC=OA﹣OC=4﹣（m²﹣2m+4）=﹣m²+2m。
②存在某一時刻，能夠使得△ACM與△AMO相似。理由如下：
過點M作MD⊥y軸于點D，則D點坐標為（0，﹣2m+4），

∴AD=OA﹣OD=4﹣（﹣2m+4）=2m。
∵M不與點A、B重合，∴0＜m＜2。
又∵MD=m，∴。
∵在△ACM與△AMO中，∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，
∴當△ACM與△AMO相似時，假設△ACM∽△AMO。
∴，即。
整理，得 9m²﹣8m=0，解得m=或m=0（舍去），
∴存在一時刻使得△ACM與△AMO相似，此時m=

試題分析：（1）設直線AB的函數解析式為：y=kx+b，將A、B兩點的坐標代入，運用待定系數法即可求出直線AB的函數解析式。
（2）①先由拋物線的頂點式為y=（x﹣m）²+n得出頂點M的坐標為（m，n），由點M是線段AB上一動點，得出n=﹣2m+4，則y=（x﹣m）²﹣2m+4，再求出拋物線y=（x﹣m）²+n與y軸交點C的坐標，然后根據AC=OA﹣OC即可求解。
②過點M作MD⊥y軸于點D，則D點坐標為（0，﹣2m+4），AD=OA﹣OD=2m，由勾股定理求出AM=m．在△ACM與△AMO中，由于∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，所以當△ACM與△AMO相似時，只能是△ACM∽△AMO，根據相似三角形對應邊成比例得出，即，解方程求出m的值即可。