Question

如圖，已知直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A、B兩點，拋物線y=x²+bx+c經過A、B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點（與A點不重合）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點M的坐標．

Answer 1

解：（1）∵直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A、B兩點，
∴可得A（1，0），B（0，﹣3），
把A、B兩點的坐標分別代入y=x²+bx+c得：，解得：。
∴拋物線解析式為：y=x²+2x﹣3。
（2）令y=0得：0=x²+2x﹣3，解得：x₁=1，x₂=﹣3。
∴C點坐標為：（﹣3，0），AC=4，
∴S_△ABC=AC×OB=×4×3=6。
（3）存在。
易得拋物線的對稱軸為：x=﹣1，假設存在M（﹣1，m）滿足題意，
根據勾股定理，得。
分三種情況討論：
①當AM=AB時，，解得：。
∴M₁（﹣1，），M₂（﹣1，）。
②當BM=AB時，，解得：M₃=0，M₄=﹣6。
∴M₃（﹣1，0），M₄（﹣1，﹣6）。
③當AM=BM時，，解得：m=﹣1。
∴M₅（﹣1，﹣1）。
綜上所述，共存在五個點使△ABM為等腰三角形，坐標為M₁（﹣1，），M₂（﹣1，），M₃（﹣1，0），M₄（﹣1，﹣6），M₅（﹣1，﹣1）。

試題分析：（1）根據直線解析式求出點A及點B的坐標，然后將點A及點B的坐標代入拋物線解析式，可得出b、c的值，求出拋物線解析式。
（2）由（1）求得的拋物線解析式，可求出點C的坐標，繼而求出AC的長度，代入三角形的面積公式即可計算。
（3）根據點M在拋物線對稱軸上，可設點M的坐標為（﹣1，m），分三種情況討論，①AM=AB，②BM=AB，③AM=BM，求出m的值后即可得出答案。