Question

如圖，以AC為直徑的⊙D與x軸交于A、B兩點，A、B的坐標分別為（-2，0）和（1，0），BC=．設直線AC與直線x=2交于點E．
（1）求以直線x=2為對稱軸，且過C與原點O的拋物線的函數解析式，并判斷此拋物線是否過點E，說明理由；
（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為N，M是該拋物線上位于C、N之間的一動點，求△CMN面積的最大值．

Answer 1

解：（1）∵AC為⊙D的直徑，
∴BC⊥AB，
∴由已知可得點C（1，），
設拋物線解析式是y=a（x-2）²+k，
將（0，0）、（1，）得：，
解得：，
故拋物線的解析式為：，
設直線x=2與x軸交于點F，則CB∥EF，
∴△ACB∽△AEF，
∴，即，
∴EF=，
∴E（2，），
當x=2時，，
∴拋物線經過點E．

（2）拋物線與x軸的另一個交點N（4，0），設M（x，y），
過C，M分別作x軸的垂線，垂足為G，H，
S_△CMN=S_CGHM+S_△HMN-S_△CGN
=（y+）（x-1）+y（4-x）-×3×
=
=
=
=-（x-）²+（1≤x≤4），
當x=時，S_△CMN的最大值是．
分析：（1）首先判斷BC⊥AB，然后求出點C坐標，根據拋物線的對稱軸為x=2，可設拋物線解析式是y=a（x-2）²+k，將（0，0）及點C的坐標代入可得出a、k的值，繼而得出拋物線解析式，求出點E的坐標后，代入即可判斷此拋物線是否過點E．
（2）根據題意畫出圖形，拋物線與x軸的另一個交點N（4，0），設M（x，y），過C，M分別作x軸的垂線，垂足為G，H，則根據S_△CMN=S_CGHM+S_△HMN-S_△CGN，可得△CMN的面積關于x、y的表達式，將，代入可得△CMN的面積關于x的表達式，利用配方法求最值即可．
點評：本題考查了二次函數的綜合，涉及了待定系數法求函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特征，難點在第二問，關鍵是作出圖形，得出面積關于x的表達式，要求同學們熟練配方法求二次函數最值的應用．