Question

如圖，以AC為直徑的⊙D與x軸交于A、B兩點，A、B的坐標分別為（-2，0）和（1，0），BC=

3

．設直線AC與直線x=2交于點E．
（1）求以直線x=2為對稱軸，且過C與原點O的拋物線的函數解析式，并判斷此拋物線是否過點E，說明理由；
（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為N，M是該拋物線上位于C、N之間的一動點，求△CMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）首先判斷BC⊥AB，然后求出點C坐標，根據拋物線的對稱軸為x=2，可設拋物線解析式是y=a（x-2）²+k，將（0，0）及點C的坐標代入可得出a、k的值，繼而得出拋物線解析式，求出點E的坐標后，代入即可判斷此拋物線是否過點E．
（2）根據題意畫出圖形，拋物線與x軸的另一個交點N（4，0），設M（x，y），過C，M分別作x軸的垂線，垂足為G，H，則根據S_△CMN=S_CGHM+S_△HMN-S_△CGN，可得△CMN的面積關于x、y的表達式，將y=-

3

3

(x-2)2+

4 3

3

，代入可得△CMN的面積關于x的表達式，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）∵AC為⊙D的直徑，
∴BC⊥AB，
∴由已知可得點C（1，

3

），
設拋物線解析式是y=a（x-2）²+k，
將（0，0）、（1，

3

）得：

4a+k=0 a+k= 3

，
解得：

a=- 3 3 k= 4 3 3

，
故拋物線的解析式為：y=-

3

3

(x-2)2+

4 3

3

，
設直線x=2與x軸交于點F，則CB∥EF，
∴△ACB∽△AEF，
∴

AB

AF

=

CB

EF

，即

3

4

=

3

EF

，
∴EF=

4 3

3

，
∴E（2，

4 3

3

），
當x=2時，y=-

3

3

(2-2)2+

4 3

3

=

4 3

3

，
∴拋物線經過點E．

（2）拋物線與x軸的另一個交點N（4，0），設M（x，y），
過C，M分別作x軸的垂線，垂足為G，H，
S_△CMN=S_CGHM+S_△HMN-S_△CGN
=

1

2

（y+

3

）（x-1）+

1

2

y（4-x）-

1

2

×3×

3

=

3y

2

+

3

2

x-2

3

=

3

2

[-

3

3

(x-2)2+

4 3

3

]+

3

2

x-2

3

=-

3

2

x2+

5 3

2

x-2

3

=-

3

2

（x-

5

2

）²+

9 3

8

（1≤x≤4），
當x=

5

2

時，S_△CMN的最大值是

9

8

3

．

點評：本題考查了二次函數的綜合，涉及了待定系數法求函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特征，難點在第二問，關鍵是作出圖形，得出面積關于x的表達式，要求同學們熟練配方法求二次函數最值的應用．