Question

【題目】如圖，已知AB∥CD，CE、BE的交點為E，現作如下操作：

第一次操作，分別作∠ABE和∠DCE的平分線，交點為E1，

第二次操作，分別作∠ABE1和∠DCE1的平分線，交點為E2，

第三次操作，分別作∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3，…，

第n次操作，分別作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分線，交點為En.

（1）如圖①，求證：∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）如圖②，求證：∠BE2C=∠BEC；

（3）猜想：若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？（直接寫出結論）.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）∠BEC等于2nα度.

【解析】試題（1）先過E作EF∥AB，根據AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根據平行線的性質，得出∠B=∠1，∠C=∠2，進而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）先根據∠ABE和∠DCE的平分線交點為E1，運用（1）中的結論，得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；

（3）根據∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3，得出∠BE3C=∠BEC；…據此得到規律∠En=∠BEC，最后求得∠BEC的度數．

試題解析：解：（1）如圖①，過E作EF∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2．∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）如圖2．∵∠ABE和∠DCE的平分線交點為E1，∴由（1）可得，∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；

∵∠ABE1和∠DCE1的平分線交點為E2，∴由（1）可得，∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；

（3）如圖2．∵∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3，∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；

…

以此類推，∠En=∠BEC，∴當∠En=α度時，∠BEC等于2nα度．