Question

閱讀下列解題過程：

1

5 + 4

=

1×( 5 - 4 )

( 5 + 4 )( 5 - 4)

=

5 - 4

( 5 )2-( 4)2

=

5

-

4

=

5

-2

1

6 + 5

=

1×( 6 - 5 )

( 6 + 5 )( 6 - 5)

=

6 - 5

( 6 )2-( 5)2

=

6

-

5

請回答下列問題．
（1）觀察上面的解題過程，請直接寫出結果．

1

n + n-1

=

 

．
（2）利用上面結論，請化簡

1

2 +1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+…+

1

2005 + 2004

的值．

Answer 1

分析：（1）對于分子為1，分母為相鄰兩整數的開方之和的式子，分子分母都乘以分母的有理化因式，分母利用平方差公式進行計算，得到的結果為所乘的有理化因式，即可寫出結果；
（2）利用上述規律化簡所求的式子中的每一項，抵消可得值．

解答：解：（1）根據上述等式的規律得：

1

n + n-1

=

n

-

n-1

；
故答案為：

n

-

n-1

；
（2）

1

2 +1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+…+

1

2005 + 2004

=

2

-1+

3

-

2

+

4

-

3

+…+

2004

-

2003

+

2005

-

2004

=

2005

-1．

點評：此題考查了二次根式的分母有理化，分母有理化的方法是分子分母同時乘以有理化因式，其中有理化因式為剛好和分母能利用平方差公式進行計算的式子．同時讓學生經歷從特殊到一般的過程，有利于學生主動地進行觀察、猜測、歸納總結，體現了數學的技能性．