Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，I是△ABC內一點，AI的延長線交BC于點D，交⊙O于E，連接BE，BI．若IB平分∠ABC，EB=EI．
（1）求證：AE平分∠BAC；
（2）若BA= ，OI⊥AD于I，求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

∵EB=EI，

∴∠EBI=∠EIB，

∵IB平分∠ABC，

∴∠ABI=∠DBI，

又∠EBI=∠EBD+∠DBI，∠EIB=∠ABI+∠BAI，

∴∠EBD=∠BAI，

又∠EBD=∠CAD，

∴∠BAI=∠CAD，

即AE平分∠BAC

（2）解：

∵OI⊥AD，AB為圓O直徑，

∴∠OIA=∠E=90°，

∴OI∥BE，

∴∠OIB=∠EBI

∵EB=EI，

∴∠EBI=∠EIB，

∴∠OIB=∠DIB，

∵IB平分∠ABC，

∴∠ABI=∠DBI，

在△BDI和△BOI中

∴△BDI≌△BOI（ASA），

∴AO=BO=BD= ，

∴AB=2AO=2

又AI=EI=EB，

∴在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB2=BE2+AE2，

即（2 ）2=（2AI）2+AI2，解得AI=2，

∴OI=ID= BE= AI=1，

∴AD=AI+DI=2+1=3，

在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC2=AD2﹣CD2，

在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2=AB2﹣BC2，

即 ，解得CD=

【解析】（1）由角平分線的定義及等腰三角形的性質，結合外角的性質可求得∠EBD=∠BAI，再利用同弧所對的圓周角相等可求得∠EBD=∠CAD，從而可證明∠BAI=∠CAD，即AE平分∠BAC；（2）可先證明△BDI≌△BOI，可求得AB、AD、BD的長，分別在Rt△ABC和Rt△ACD中，可得到關于AC、CD的方程組，可求得CD的長．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和垂徑定理的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧才能正確解答此題．