Question

【題目】四邊形一條對角線所在直線上的點，如果到這條對角線的兩端點的距離不相等，但到另一對角線的兩個端點的距離相等，則稱這點為這個四邊形的準等距點．如圖，點P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點，PD=PB，PA≠PC，則點P為四邊形ABCD的準等距點．
（1）如圖2，畫出菱形ABCD的一個準等距點．
（2）如圖3，作出四邊形ABCD的一個準等距點（尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
（3）如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點，PA≠PC，延長BP交CD于點E，延長DP交BC于點F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求證：點P是四邊形ABCD的準等距點．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖2，點P即為所畫點．

（2）解：如圖3，點P即為所作點

（3）解：證明：連接DB，

在△DCF與△BCE中， ，

∴△DCF≌△BCE（AAS），

∴CD=CB，

∴∠CDB=∠CBD．

∴∠PDB=∠PBD，

∴PD=PB，

∵PA≠PC

∴點P是四邊形ABCD的準等距點

【解析】（1）根據菱形的性質，在菱形對角線上找出除中心外的任意一點即可；（2）作對角線BD的垂直平分線于與另一對角線AC相交于點P，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得點P即為所求的準等距點；（3）連接BD，先利用“角角邊”證明△DCF和△BCE全等，根據全等三角形對應邊相等可得CD=CB，再根據等邊對等角的性質可得∠CDB=∠CBD，從而得到∠PDB=∠PBD，然后根據等角對等邊的性質可得PD=PB，根據準等距點的定義即可得證．